Studio funzioni a 2 variabili
Salve! Ho il seguente esercizio:
1) Devo studiare la continuità , derivabilità e differenziabilità di
$f(x,y)= log|2-x| - |frac{1}{y}|$
Dominio:
$x!=2$
$y!=0$
Per i teoremi sulle funzioni continue, $f$ è continua nel suo dominio $D=RR^2 - {x=2, y=0}$.
Derivabilità:
$frac{partial (f)} {partial (x)} = frac{1}{|2-x|}$
$frac{partial (f)} {partial (y)} = frac{1}{y^2}$
$x!=2$ e $y!=0$
$lim_(h->0) frac{f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0)}{h} = nexists$
$lim_(k->0) frac{f(x_0,y_0+k) - f(x_0,y_0)}{k} = nexists$
quindi non esiste la derivata in $(x_0, 0)$ e in $(2,y_0)$. Inoltre $f$ non è differenziabile in questi punti perchè non esistono le derivate prime.
In tutti gli altri punti del dominio f è differenziabile.
2) Dire perchè la funzione del quesito precedente è integrabile secondo Riemann nel rettangolo Q di vertici $(+- 1, 1)$ $(+-1,2)$ e , solo dopo, calcolare tale integrale.
La funzione è continua nel compatto Q e poichè è un rettangolo è misurabile secondo Peano - Jordan e dunque integrabile secondo Riemann.
L'integrale doppio vale:
$int int log(2-x)dxdy - int int 1/y dxdy =$
$= int_(-1)^1 dx int_1^2 log(2-x)dy - int_(-1)^1 dx int_1^2 (1/y) dy=$
$= 2*int_(-1)^1 log(2-x) dx - int_(-1)^1 ln(2) dx = $
$=[-x+xlog(2-x) - 2log(2-x)]_(-1)^1+2ln(2) + c$
$= (-1 - log(1) -2log(1) -1 -log(3) + 2log(3))+2ln(2) + c =$
$ = -2 +log(3) + 2ln(2) + c$
Ho sbagliato da qualche parte??
1) Devo studiare la continuità , derivabilità e differenziabilità di
$f(x,y)= log|2-x| - |frac{1}{y}|$
Dominio:
$x!=2$
$y!=0$
Per i teoremi sulle funzioni continue, $f$ è continua nel suo dominio $D=RR^2 - {x=2, y=0}$.
Derivabilità:
$frac{partial (f)} {partial (x)} = frac{1}{|2-x|}$
$frac{partial (f)} {partial (y)} = frac{1}{y^2}$
$x!=2$ e $y!=0$
$lim_(h->0) frac{f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0)}{h} = nexists$
$lim_(k->0) frac{f(x_0,y_0+k) - f(x_0,y_0)}{k} = nexists$
quindi non esiste la derivata in $(x_0, 0)$ e in $(2,y_0)$. Inoltre $f$ non è differenziabile in questi punti perchè non esistono le derivate prime.
In tutti gli altri punti del dominio f è differenziabile.
2) Dire perchè la funzione del quesito precedente è integrabile secondo Riemann nel rettangolo Q di vertici $(+- 1, 1)$ $(+-1,2)$ e , solo dopo, calcolare tale integrale.
La funzione è continua nel compatto Q e poichè è un rettangolo è misurabile secondo Peano - Jordan e dunque integrabile secondo Riemann.
L'integrale doppio vale:
$int int log(2-x)dxdy - int int 1/y dxdy =$
$= int_(-1)^1 dx int_1^2 log(2-x)dy - int_(-1)^1 dx int_1^2 (1/y) dy=$
$= 2*int_(-1)^1 log(2-x) dx - int_(-1)^1 ln(2) dx = $
$=[-x+xlog(2-x) - 2log(2-x)]_(-1)^1+2ln(2) + c$
$= (-1 - log(1) -2log(1) -1 -log(3) + 2log(3))+2ln(2) + c =$
$ = -2 +log(3) + 2ln(2) + c$
Ho sbagliato da qualche parte??
Risposte
Il primo mi sembra giusto, nel secondo sicuramente c'è un errore di concetto: siccome stai calcolando un integrale definito non c'è nessuna costante da aggiungere al risultato 
"walter89":
Il primo mi sembra giusto, nel secondo sicuramente c'è un errore di concetto: siccome stai calcolando un integrale definito non c'è nessuna costante da aggiungere al risultato
Ah....pensavo peggio
Ti ringrazio
Noti altri errori? Un'ultima domanda:
Per la continuità non è necessario fare nessun limite per i punti di frontiera perchè la funzione in quei punti ($x=0$, $y=2$) non è definita.
Per la derivabilità perchè invece ha senso fare il limite del rapporto incrementale per quei punti ?
"qwerty90":
Un'ultima domanda:
Per la continuità non è necessario fare nessun limite per i punti di frontiera perchè la funzione in quei punti ($x=0$, $y=2$) non è definita.
Per la derivabilità perchè invece ha senso fare il limite del rapporto incrementale per quei punti ?
perchè in 2 variabili è leggermente diverso dalle funzioni di una variabile, una funzione potrebbe essere derivabile anche senza essere continua.
Per la corretta analogia con le funzioni di una variabile occorre la differenziabilità, infatti una funzione può essere differenziabile solo se è continua
ok grazie 
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