Studio funzione logaritmica fratta

[comariob]

Salve a tutti, sto sbattendo la testa da un giorno su un esercizio di esame apparentemente scemo ma su cui mi sono completamente bloccato!

$ (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 $

1) Insieme di definizione: pongo $ { ( logx-3!= 0 rarr x!= e^3 ),(x>0 ):} $ per cui il dominio è $ D=]0,e^3[ uu ]e^3,+oo [ $

2) Segno: $ (5-2log(x))/(log(x)-3)^2>0 $
Qui devo SEMPRE valutare il segno dei fattori separatamente, giusto?
Ora, al numeratore ho $5>2logxrarr e^(5/2)>x $

Al denominatore erroneamente potrei pensare $(logx>3)^2>0rarr x>e^3 $
Ma in realtà la presenza del quadrato dovrebbe farmi invece concludere che $ (log(x)-3)^2>0 $ SEMPRE

Quindi $f(x)>0$ per $x>e^(5/2)$

Corretto o sbagliato?

3) Intersezioni con gli assi: $ { ( x=0 ),( y=5/9 ):} $
$ { ( y=0 ),( (5-2log(x))/(log(x)-3)^2=0 ):} $
Pongo $ t=logxrarr (5-2t)/(t-3)^2 =0rarr (5-2t)/(t^2+9-6t )=0 rarr5-2t=t^2+9-6t rarr t^2-4t+4=0 rarr (t-2)^2=0 rarr t=2 $
Da cui $logx=2 rarr x=e^2$

4) Limiti
$lim_(x -> oo ) (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 ~ (-2log(x))/(log(x)^2 ) ~-2/log(xx) = 0$

$lim_(x -> 0 ) (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 ~ (-2log(x))/(log(x)^2 ) ~-2/log(xx) = oo$

Con il calcolo del limite per $e^3$, mi sperdo e mi viene il dubbio di aver sbagliato tutto....

Qualcuno mi può aiutare???

[Shocker1]

"NapoNiubbo":Salve a tutti, sto sbattendo la testa da un giorno su un esercizio di esame apparentemente scemo ma su cui mi sono completamente bloccato!

$ (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 $

1) Insieme di definizione: pongo $ { ( logx-3!= 0 rarr x!= e^3 ),(x>0 ):} $ per cui il dominio è $ D=]0,e^3[ uu ]e^3,+oo [ $

Corretto.

2) Segno: $ (5-2log(x))/(log(x)-3)^2>0 $
Qui devo SEMPRE valutare il segno dei fattori separatamente, giusto?
Ora, al numeratore ho $5>2logxrarr e^(5/2)>x $

Al denominatore erroneamente potrei pensare $(logx>3)^2>0rarr x>e^3 $
Ma in realtà la presenza del quadrato dovrebbe farmi invece concludere che $ (log(x)-3)^2>0 $ SEMPRE

Quindi $f(x)>0$ per $x>e^(5/2)$

Corretto o sbagliato?

Sbagliato, $f(x) > 0 $ quando $ 0 < x < e^(5/2)$, $f(x) < 0 $ per $x > e^(5/2)$, $f(x) = 0$ quando $ x = e^(5/2)$
In pratica hai sbagliato a scrivere la soluzione della disequazione:
$ (5-2log(x))/(log(x)-3)^2>0 $
Numeratore: $5 - 2log(x) > 0 -> -2log(x) > -5 -> log(x) < 5/2 -> x < e^(5/2)$
Denominatore: $(log(x) - 3)^2 > 0$, sempre verificata tranne quando $log(x) = 3$.
Il segno è quindi $ x < e^(5/2), x!= e^3$, ma devi tenere anche conto del dominio della funzione, quindi la soluzione della disequazione è $ 0 < x < e^(5/2), x != e^3$(in pratica si mette a sistema il dominio e la soluzione della disequazione).

3) Intersezioni con gli assi: $ { ( x=0 ),( y=5/9 ):} $

Sbagliato! In $x = 0$ la funzione non è definita! Tiene sempre conto del dominio di $f(x)$ che è $]0, e^3[ uu ]e^3, +oo[$

$ { ( y=0 ),( (5-2log(x))/(log(x)-3)^2=0 ):} $
Pongo $ t=logxrarr (5-2t)/(t-3)^2 =0rarr (5-2t)/(t^2+9-6t )=0 rarr5-2t=t^2+9-6t rarr t^2-4t+4=0 rarr (t-2)^2=0 rarr t=2 $
Da cui $logx=2 rarr x=e^2$

Qui hai preso una svista

$(5-2t)/(t-3 )^2 =0 -> 5 - 2t = 0$, per $t != 3$, in pratica hai moltiplicato ambo i membri per il denominatore ma ti sei dimenticato che al secondo membro c'è $0$.

4) Limiti
$lim_(x -> oo ) (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 ~ (-2log(x))/(log(x)^2 ) ~-2/log(xx) = 0$

$lim_(x -> 0 ) (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 ~ (-2log(x))/(log(x)^2 ) ~-2/log(xx) = oo$

Il primo limite è corretto, il secondo no.
$lim_(x->0^+) -2/log(x) = [-2/-oo] = 0$, ricorda che quando $x->0$ il logaritmo(con base $> 1$) tende a $-oo$
Equivalentemente:
$lim_(x -> 0^+ ) (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 = lim_(x->0^+) log(x)(5/log(x) - 2)/(log^2(x)(1 - 3/log(x))^2) = lim_(x->0^+) (5/log(x) - 2)/(log(x)(1 - 3/log(x))^2) = [ -2/(-oo(1 - 3/(-oo))^2)] = [-2/-oo] = 0$

Con il calcolo del limite per $e^3$, mi sperdo e mi viene il dubbio di aver sbagliato tutto....

Qualcuno mi può aiutare???

Posta i calcoli così vediamo dove ti blocchi


Ciao

[comariob]

Ciao, grazie per la risposta

SEGNO

$ x = e^(5/2) $$ 0 < x < e^(5/2), x != e^3 $

Non mi trovo.

Il segno è quindi $x
Ok, fin qui ci troviamo

........ 0........... $e^5/2$ ........... $e^3$ .......................
NUM .. $ ldots ldots ldots ldots ldots ldots $ ________________________________________
DEN ... _____________________o__________________________________________________

Quindi dovrebbe venire positivo per tutto l'intervallo $]e^(5/2),e^3[∪]e^3,+∞[ $
No?

Pr il limite di $ x rarr e^t$ devo usare l'Hopital?

La derivata I

Derivazione per rapporto tra due funzioni.
$ ((partial/(partial x) ((5-2logx))(logx-3)^2)- ((5-2logx))(partial/(partial x) (logx-3)^2))/(logx-3)^4 $

Prima derivata
$ partial/(partial x) (5-2logx) = -2/x $
Seconda derivata, derivata di funzione composta
$ partial/(partial x) (logx-3)^2 = 2(logx-3)^(2-1)partial/(partial x)(logx-1)=2(logx-3)(1/x)=(2((logx)-3))/x $

Mettendo insieme
$ ((-2/x)(logx-3)^2-(5-2logx)((2(logx-3))/x))/(logx-3)^4 $

$ ((-2/x)(logx-3)^2-(10(logx-3)/x-4logx(logx-3)/x))/(logx-3)^4 $

$ ((-2)(logx-3)^2-10(logx-3)+4logx(logx-3))/(x(logx-3)^4 $

Ora metto in evidenza $(logx-3)$ e vado avanti, proseguo dopo, nel frattempo mi sai dire se è corretto?

[Shocker1]

"NapoNiubbo":Ciao, grazie per la risposta

SEGNO

$ x = e^(5/2) $$ 0 < x < e^(5/2), x != e^3 $

Non mi trovo.

Il segno è quindi $x
Ok, fin qui ci troviamo

........ 0........... $e^5/2$ ........... $e^3$ .......................
NUM .. $ ldots ldots ldots ldots ldots ldots $ ________________________________________
DEN ... _____________________o__________________________________________________

Quindi dovrebbe venire positivo per tutto l'intervallo $]e^(5/2),e^3[∪]e^3,+∞[ $
No?

No. Scusa, sono stato poco chiaro.
Allora, per risolvere la disequazione $ ( 5 - 2log(x))/(log(x) - 3)^2 > 0$ si studia il segno del numeratore e del denominatore, ok?
Numeratore: $5 - 2log(x) > 0 -> x < e^(5/2)$
Denominatore: $(log(x) - 3)^2 > 0$, sempre verificata per ogni $x != e^3$
Facendo il grafico delle soluzioni si ha:
$------0---e^(5/2)---e^3$
NUM $++++++++ -----$
DEN $+++++++++++++$
quindi $ x < e^(5/2)$
Una volta fatto questo, per ottenere la soluzione della disequazione(cioè di $( 5 - 2log(x))/(log(x) - 3)^2 > 0$), bisogna mettere a sistema il dominio della funzione con $x < e^(5/2)$.
Capito?

Pr il limite di $ x rarr e^t$ devo usare l'Hopital?

Uhm, no. In realtà non si presenta nemmeno una forma indeterminata, perché hai pensato a de L'hopital?

La derivata prima è corretta.



Ciao

[comariob]

"Shocker":No. Scusa, sono stato poco chiaro.
Allora, per risolvere la disequazione $ ( 5 - 2log(x))/(log(x) - 3)^2 > 0$ si studia il segno del numeratore e del denominatore, ok?
Numeratore: $5 - 2log(x) > 0 -> x < e^(5/2)$

Errore madornale di distrazione, chissà perchè vedevo quell' $x>e^5/2$

Uhm, no. In realtà non si presenta nemmeno una forma indeterminata, perché hai pensato a de L'hopital?

Quindi devo semplicemente fare la sostituzione di $e^3$ nella x?
Il logaritmo di $e^3$ è uguale a 3?
Quindi mi trovo come risultato $oo $, giusto?

Perciò per $x rarr oo$ $y=0$ è asintoto orizzontale e per $x rarr e^3 y=oo$ è asintoto verticale, giusto?

La derivata prima è corretta.

Ok, proseguo e confrontiamo il risultato.

[comariob]

Anche con lo studio della derivata prima trovo delle incongruenze.

La derivata è $(2(log(x)-2))/(x(log(x)-3)^3)>0$

Il numeratore mi da $x>e^2$
Il denominatore come per la funzione di partenza è sempre vero tranne quando $x=/=e^3$

Ma adesso mi ritrovo la funzione decrescente da 0 a $e^2$ e crescente da $e^2$ con $e^3$ punto di discontinuità.


Il che non corrisponde, dal punto di vista grafico, a quanto riscontrato con lo studio fatto nei punti precedenti.

[Shocker1]

"NapoNiubbo":Anche con lo studio della derivata prima trovo delle incongruenze.

La derivata è $(2(log(x)-2))/(x(log(x)-3)^3)>0$

Il numeratore mi da $x>e^2$
Il denominatore come per la funzione di partenza è sempre vero tranne quando $x=/=e^3$

Per il numeratore ci siamo, per il denominatore no :c.
Al denominatore non hai una potenza pari... attento.
Come risolvi $x(log(x) - 3)^3 > 0$ ? Ti ricordo che $(log(x) - 3)^3$ è un cubo e quindi ha segno variabile...


Ciao

[comariob]

"Shocker":Per il numeratore ci siamo, per il denominatore no :c.
Al denominatore non hai una potenza pari... attento.
Come risolvi $x(log(x) - 3)^3 > 0$ ? Ti ricordo che $(log(x) - 3)^3$ è un cubo e quindi ha segno variabile...


Ciao

Hai ragione, che scemo.

Quindi pongo il sistema $ { ( logx>2 rarrx>e^2 ),( x>0 ),( logx>3 rarr x>e^3 ):} $

Giusto?

In questo modo mi trovo funzione crescente da 0 a $e^2$ e da $e^3$ a seguire, mentre è decrescente da $e^2$ a $e^3$ giusto?

Verifico analiticamente che $e^2$ è punto estremante ponendo derivata prima uguale a zero.
A questo punto faccio la sostituzione di $e^2$ nella funzione di partenza per individuare l'ordinata e ottengo $(1,e^2)$ punto di massimo assoluto, tutto giusto?

L'unico asintoto presente è per $x→e3 y=oo$ asintoto verticale?

Con questo lo studio della funzione può dirsi completo tracciando il grafico, esatto?

[Shocker1]

"NapoNiubbo":[quote="Shocker"]Per il numeratore ci siamo, per il denominatore no :c.
Al denominatore non hai una potenza pari... attento.
Come risolvi $x(log(x) - 3)^3 > 0$ ? Ti ricordo che $(log(x) - 3)^3$ è un cubo e quindi ha segno variabile...


Ciao

Hai ragione, che scemo.

Quindi pongo il sistema $ { ( logx>2 rarrx>e^2 ),( x>0 ),( logx>3 rarr x>e^3 ):} $

Giusto?

In questo modo mi trovo funzione crescente da 0 a $e^2$ e da $e^3$ a seguire, mentre è decrescente da $e^2$ a $e^3$ giusto?
[/quote]
Il risultato è giusto, ma ti ricordo che non stai risolvendo quel sistema ma questo: ${ (log(x - 2)/(x(log(x) - 3)^3) >=0), (x > 0):}$
Fai attenzione quando risolvi le disequazioni!!

Per quanto riguarda gli asintoti, mi pare sia tutto corretto($lim_(x->e^3) (5-2log(x))/(log(x)-3)^2 = -oo$)
Sì, queste informazioni dovrebbero bastarti per disegnare la funzione, altrimenti studi la derivata seconda e il segno della funzione.


Ciao