Studio funzione logaritmica

[maggie20001]

Salve,
vi propongo una funzione logaritmica di cui non riesco a disegnare il grafico finale, quindi immagino di aver sbagliato qualcosa nello studio.
La funzione è :
$ f(x)= x^(2)* (1-2log x) $

- Il dominio è x>0

- Non ci sono simmetrie: f(x) non è nè pari nè dispari

- f(x)>0 per $ x in (0,sqrt(e) ) $
f(x)<0 per $ x in (sqrt(e),+oo ) $
f(x)=0 per $ x=sqrt(e) $

-Intersezione con l'asse x nel punto P ($ sqrt(e) $ ,0)

-Asintoti:
y=0 asintoto orizzontale, infatti:
$ lim_(x -> +oo ) x^2*(1-2log x)=lim_(x -> +oo )(1-2log x) / x^2 =0 $
dal confronto tra infiniti infatti il numeratore, essendo un logaritmo, tende a infinito "meno rapidamente" del denominatore)

x=0 asintoto verticale, infatti:
$ lim_(x -> 0^+ ) x^2*(1-2log x)=lim_(x -> 0^+ )(1-2log 0^+) / 0^+ =lim_(x -> 0^+ )(1-2*(-oo))/0^+= lim_(x -> 0^+ ) (+oo)/0^+=+oo $

- La derivata prima mi risulta:
y'= -4x logx

y'>0 per x appartenente a ]0,1[ quindi f(x) è crescente nell'intervallo
y'<0 per x appartenente a ]1,+$oo$[ quindi f(x) è decrescente nell'intervallo

in x=1 c'è un punto di minimo di ordinata y=1

-La derivata seconda mi risulta:
y''= -4 logx -4

y''>0 per x appartenente a ]$1/e$,$+oo$[ in cui f(x) è convessa
y''<0 per x appartenente a ]0,$1/e$[ in cui f(x) è concava

inoltre in x= $1/e$ ci dovrebbe essere un flesso mi pare con ordinata y=$3/e^e$

Non so se tramite il forum c'è un modo per mostrarmi il grafico, ma mi sarebbe comunque utile se mi deste una conferma sullo studio che ho fatto (o una smentita, più probabile!)

Grazie a chi risponderà
Ciaoo

[hamming_burst]

Ciao,
piccola nota di calcolo (il resto aspetta qualcuno di più fresco).

Sicura che sia possibile fare ciò: $lim_(x->+oo) x^2 * (1-2logx) = lim_(x->+oo) (1-2logx)/x^2$ ?

se poprio direi che è più corretto $lim_(x->+oo) x^2 * (1-2logx) = lim_(x->+oo) (1-2logx)/(1/x^2)$ che è una forma indeterminata...

[chiaraotta1]

Mi sembra che i limiti siano sbagliati:
1) $ lim_(x -> +oo ) x^2*(1-2log x)$ non è di forma indeterminata, ma del tipo $+oo * -oo$ che è $-oo$. C'è un errore in quello che scrivi, come già segnalato da ham_burst: non è vero che $ lim_(x -> +oo ) x^2*(1-2log x)= lim_(x -> +oo )(1-2log x) / x^2$, ma $ lim_(x -> +oo ) x^2*(1-2log x)= lim_(x -> +oo )(1-2log x) /(1/x^2)$.
2) C'è lo stesso errore nell'altro limite, non è vero che $ lim_(x -> 0^+ ) x^2*(1-2log x) = lim_(x -> 0^+ )(1-2log x) / x^2$. Invece $ lim_(x -> 0^+ ) x^2*(1-2log x) = lim_(x -> 0^+ )(1-2log x) /(1/x^2) = lim_(x -> 0^+ )(-2/x) /(-2/x^3) = lim_(x -> 0^+ )(1/x)/(1/x^3) = lim_(x -> 0^+ ) x^2 = 0$.

Penso sia un errore di battitura, ma in $(1, 1)$ c'è un massimo....
Il grafico è circa questo:

[maggie20001]

Grazie!!!
In effetti senza asintoti sono stata in grado di fare il grafico.