Studio funzione integrale: limiti alla frontiera!
buongiorno, volevo chiedervi se potevate aiutarmi con questo esercizio:
$F(x)=int_(2)^(x^(1/2)) (ln(1+t^2))/(2t^2-1)^(1/2)$
devo studiare questa funzione!
il campo di esistenza, la positività, il $lim_(x->((1/2)^+)) F(x)$ e la derivata con monotonia sono riuscita a calcolarli tutti, l'unico punto dove mi blocco è lo studio del $lim_(x->+oo) F(x)$
ho più o meno capito come fa la funzione, inoltre so che per $x->+oo$ ha un asintoto orizzontale, il problema è trovarlo!!!!
ho provato a fare un paio di confronti con delle funzioni più grandi, ma le trovo tutte divergenti....
potreste aiutarmi????
per favore
$F(x)=int_(2)^(x^(1/2)) (ln(1+t^2))/(2t^2-1)^(1/2)$
devo studiare questa funzione!
il campo di esistenza, la positività, il $lim_(x->((1/2)^+)) F(x)$ e la derivata con monotonia sono riuscita a calcolarli tutti, l'unico punto dove mi blocco è lo studio del $lim_(x->+oo) F(x)$
ho più o meno capito come fa la funzione, inoltre so che per $x->+oo$ ha un asintoto orizzontale, il problema è trovarlo!!!!
ho provato a fare un paio di confronti con delle funzioni più grandi, ma le trovo tutte divergenti....
potreste aiutarmi????
per favore
Risposte
Ma sei sicura che ha un asintoto orizzontale? a me sembra proprio divergere, tieni presenti che, per [tex]t[/tex] molto grandi gli [tex]1[/tex] a numeratore e a denominatore vengono assorbiti dalle potenze di $t$, insomma la funzione è pressapoco per non dire uguale, a meno di un fattore, a [tex]2ln(t)/t[/tex] e di cui la primitiva è [tex]{ln^2(t)}[/tex].
[edit] non so se hai mai utilizzato il criterio di convergenza mediante serie, allora ti accorgi subito che diverge, qui lo puoi utilizzare perchè la funzione integranda è monotona decrescente tendente a [tex]0[/tex]
[edit] non so se hai mai utilizzato il criterio di convergenza mediante serie, allora ti accorgi subito che diverge, qui lo puoi utilizzare perchè la funzione integranda è monotona decrescente tendente a [tex]0[/tex]
in realtà non ero sicura al 100% però ho disegnato la funzione su derive e dal disegno sembra proprio che abbia un asintoto
però il tuo ragionamento è molto interessante! grazie per l'aiuto
però il tuo ragionamento è molto interessante! grazie per l'aiuto
Data una funzione [tex]f(t)[/tex] monotona decrescente a valori positivi o nulli(o come in questo caso tendente a zero per [tex]t-> +\infty[/tex]) e definita in un intervallo [tex][1,+\infty][/tex] considerando i valori della funzione nei punti di ascissa [tex]{1,2,3...}[/tex]. Se la serie i cui termini sono dati da quei valori converge, allora converge anche l'integrale improprio della funzione nel suddetto intervallo, se diverge, allora diverge anche l'integrale improprio e viceversa.
Ovviamente puoi fare delle generalizzazioni sia sul dominio che sulle ascisse dei punti in cui consideri la funzione, a patto di considerare un periodo [tex]T[/tex] e i valori nei punti di ascissa [tex]nT[/tex].
Qui hai la serie [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \frac {\ln (1+n^2)} {\sqrt{2n^2 -1}}[/tex]
La successione dei suoi termini ne maggiora un'altra che diverge, quindi diverge anche la serie di partenza, ergo l'integrale improprio diverge.
[tex]\frac {1}{\sqrt{2n^2 -1}} < \frac {\ln (1+n^2)} {\sqrt{2n^2 -1}}[/tex]
La serie diverge perchè ha il carattere della serie armonica, lo puoi riscontrare con un confronto asintotico con, [tex]1 \over n[/tex].
[edit] Che l'estremo d'integrazione non sia [tex]x[/tex] ma [tex]\sqrt{x}[/tex], non cambia nulla, perchè quella è una funzione continua nell'intervallo d'interesse, quindi la primitiva esiste, ed è la funzione integrale, se consideri quindi la primitiva [tex]F(x)[/tex] avendo dimostrato che:
[tex]\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) = +\infty[/tex] allora anche se consideri la traformazione [tex]x =\sqrt{t}[/tex], il limite rimane lo stesso.
[edit] sto parlando dell'asintoto orizzontale, poi non è escluso che non ci sia uno obliquo, ma orizzontale non c'è.
Ovviamente puoi fare delle generalizzazioni sia sul dominio che sulle ascisse dei punti in cui consideri la funzione, a patto di considerare un periodo [tex]T[/tex] e i valori nei punti di ascissa [tex]nT[/tex].
Qui hai la serie [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \frac {\ln (1+n^2)} {\sqrt{2n^2 -1}}[/tex]
La successione dei suoi termini ne maggiora un'altra che diverge, quindi diverge anche la serie di partenza, ergo l'integrale improprio diverge.
[tex]\frac {1}{\sqrt{2n^2 -1}} < \frac {\ln (1+n^2)} {\sqrt{2n^2 -1}}[/tex]
La serie diverge perchè ha il carattere della serie armonica, lo puoi riscontrare con un confronto asintotico con, [tex]1 \over n[/tex].
[edit] Che l'estremo d'integrazione non sia [tex]x[/tex] ma [tex]\sqrt{x}[/tex], non cambia nulla, perchè quella è una funzione continua nell'intervallo d'interesse, quindi la primitiva esiste, ed è la funzione integrale, se consideri quindi la primitiva [tex]F(x)[/tex] avendo dimostrato che:
[tex]\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) = +\infty[/tex] allora anche se consideri la traformazione [tex]x =\sqrt{t}[/tex], il limite rimane lo stesso.
[edit] sto parlando dell'asintoto orizzontale, poi non è escluso che non ci sia uno obliquo, ma orizzontale non c'è.
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