Studio funzione integrale (Inf e Sup)

[nunziox]

Data la funzione: $ int_(0)^(x) sqrt(t)/(t+1) dt $ come faccio a calcolre inf e sup specificando se si tratta di minimo o massimo senza calcolare l'integrale?

[Gi81]

Per quanto riguarda l'inf, puoi dire che si tratta di minimo e vale $0$ (prova a pensare perchè)
Per quanto riguarda il sup, probabilmente serve lo studio della derivata.

[ciampax]

Per il sup, secondo me diventa molto facile capire quanto vale applicando la sostituzione $\sqrt{t}=z$ e ragionando un po' sulla forma dell'integranda che ne risulta. Oppure semplicemente capire se quell'integrale risulta convergente o divergente sul suo dominio.

[nunziox]

l'argomento dell'integrale è la f'(x) quindi posso studiarla e determinare i punti per cui si ha sup o inf... ma come faccio a determinare la sup=f(x) o inf=f(x) senza svolgere l'integrale?

[Gi81]

Beh, hai che $f'(x)>0$ $AAx >0$. Quindi la funzione è strettamente crescente.
Pertanto $s u p$ $ f(x)= lim_(x->+oo) f(x)$. Questo ti permette di dire che non esiste il max.

Se vuoi trovare quanto vale precisamente il sup, segui il consiglio di ciampax

[nunziox]

mmm scusate ma non mi è chiaro il procedimento di ciampax..

Esattamente il testo dice:

1. determinare il campo di esistenza
2. studiarne il segno
3. dire se è limitata ed eventualmente calcolare inf e sup , specificando se si tratta di minimo e/o massimo

Con un primo sguardo il campo di esistenza è ]0;+oo[
Quindi 0 è un punto di discontinuità per la f'(t) ma non è detto che sia anche della f(t) quindi ne faccio il limite
risulta: $ lim_(t->0)(sqrt(t)/(t+1)dt=0) $ il valore del limite è finito quindi includo 0 nel campo di esistenza della f(t).
C:E [0;+oo[

Abbiamo detto che la f'(t)>0 per ogni t>0 quindi cresce ed è limitata inferiormente perché il punto t=0 fa parte del dominio.
Come concludo che è limitata superiormente? Il discorso di ciampax non mi è chiaro:( potreste rispiegarmi meglio?