Studio funzione integrale. Dubbio su derivabilità per due volte.
Buongiorno, ho un dubbio che è nato dallo svolgimento del seguente esercizio:
Data \(\displaystyle f(x): R \rightarrow R \) definita da \(\displaystyle f(x)=1 \) se \(\displaystyle x<0 \), \(\displaystyle f(x)=x^2+1 \) se \(\displaystyle x \geq 0 \); si consideri la sua funzione integrale \(\displaystyle F(x)= \int_{-1}^{x} f(t)dt \). Stabilire se \(\displaystyle F \) soddisfa le seguenti proprietà:
A) continua, B) derivabile una volta, C) derivabile due volte, D) monotona, E) convessa.
Il mio svolgimento:
A) vera, perché, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale, \(\displaystyle F \) è derivabile (con \(\displaystyle F'(x)=f(t) \)), quindi è continua. Di conseguenza è vera anche la B).
D) vera: dallo studio della derivata prima, ossia di \(\displaystyle f(t) \), verifico che \(\displaystyle F \) è crescente.
Ora veniamo alla C): derivando \(\displaystyle f(t) \), ottengo
\(\displaystyle f'(t)=0 \) per \(\displaystyle x<0 \), \(\displaystyle f'(t)=2x \) per \(\displaystyle x \geq 0 \), ma al grafico di \(\displaystyle f(t) \) noto che in \(\displaystyle (0,1) \) potrei avere problemi.
Posso affermare che \(\displaystyle F \) sia derivabile due volte oppure no?
E) vera.
Sbaglio qualcosa nel ragionamento? Mi sapreste dare una mano?
Data \(\displaystyle f(x): R \rightarrow R \) definita da \(\displaystyle f(x)=1 \) se \(\displaystyle x<0 \), \(\displaystyle f(x)=x^2+1 \) se \(\displaystyle x \geq 0 \); si consideri la sua funzione integrale \(\displaystyle F(x)= \int_{-1}^{x} f(t)dt \). Stabilire se \(\displaystyle F \) soddisfa le seguenti proprietà:
A) continua, B) derivabile una volta, C) derivabile due volte, D) monotona, E) convessa.
Il mio svolgimento:
A) vera, perché, dal Teorema fondamentale del calcolo integrale, \(\displaystyle F \) è derivabile (con \(\displaystyle F'(x)=f(t) \)), quindi è continua. Di conseguenza è vera anche la B).
D) vera: dallo studio della derivata prima, ossia di \(\displaystyle f(t) \), verifico che \(\displaystyle F \) è crescente.
Ora veniamo alla C): derivando \(\displaystyle f(t) \), ottengo
\(\displaystyle f'(t)=0 \) per \(\displaystyle x<0 \), \(\displaystyle f'(t)=2x \) per \(\displaystyle x \geq 0 \), ma al grafico di \(\displaystyle f(t) \) noto che in \(\displaystyle (0,1) \) potrei avere problemi.
Posso affermare che \(\displaystyle F \) sia derivabile due volte oppure no?
E) vera.
Sbaglio qualcosa nel ragionamento? Mi sapreste dare una mano?
Risposte
Riporto i dettagli minimali che secondo me sono necessari per rispondere correttamente (a meno che non si tratti di un test a scelta multipla o vero/falso).
A+B) La funzione \(f\) è continua, dunque per il TFCI la sua funzione integrale \(F\) è derivabile (dunque anche continua) e \(F' = f\).
C) Si verifica immediatamente (stando attendi però al punto \(x = 0\)) che \(f\) è derivabile, con derivata
\[
f'(x) =
\begin{cases}
0, & \text{se}\ x \leq 0,\\
2x, & \text{se}\ x > 0.
\end{cases}
\]
Di conseguenza \(F\) è derivabile due volte, con \(F'' = f'\).
D) Poiché \(F\) è derivabile e \(F'(x) = f(x) > 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), la funzione \(F\) è strettamente monotona crescente su tutto \(\mathbb{R}\).
E) Poiché \(F\) è derivabile due volte e \(F''(x) = f'(x) \geq 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), per il noto criterio di convessità segue che \(F\) è convessa su tutto \(\mathbb{R}\).
A+B) La funzione \(f\) è continua, dunque per il TFCI la sua funzione integrale \(F\) è derivabile (dunque anche continua) e \(F' = f\).
C) Si verifica immediatamente (stando attendi però al punto \(x = 0\)) che \(f\) è derivabile, con derivata
\[
f'(x) =
\begin{cases}
0, & \text{se}\ x \leq 0,\\
2x, & \text{se}\ x > 0.
\end{cases}
\]
Di conseguenza \(F\) è derivabile due volte, con \(F'' = f'\).
D) Poiché \(F\) è derivabile e \(F'(x) = f(x) > 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), la funzione \(F\) è strettamente monotona crescente su tutto \(\mathbb{R}\).
E) Poiché \(F\) è derivabile due volte e \(F''(x) = f'(x) \geq 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), per il noto criterio di convessità segue che \(F\) è convessa su tutto \(\mathbb{R}\).
Perfetto, era come pensavo!
Grazie mille per la risposta
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