Studio Funzione integrale.

[identikit_man-votailprof]

Ciao a tutti vi pongo il mio problema; devo studiare la seguente funzione integrale: $F(x)=int_(0)^(x) t^3/(sqrt(e^(t^2)-1)dt$; come prima cosa devo calcolare il dominio. Il dominio delle funzione integranda è $t!=0$.Quindi questo vuol dire che la funzione integranda nn è limitata in uno degli estremi d'integrazione.Come devo fare a calcolare il dominio della funzione integrale $F(x)$

[adaBTTLS1]

questa volta hai 0 (punto isolato di non definizione della funzione integranda) come primo estremo d'integrazione.
dunque i possibi risultati sono: x>0, x<0, ogni x reale, per nessun x reale, a seconda di come si comporta la funzione integranda negli intorni destro e sinistro dello zero.
ti conviene ricorrere al confronto con le funzioni standard e fare i due limiti per x->0+ e per x->0-

[identikit_man-votailprof]

In questo caso ho un integrale in senso generalizzato giusto; cioè la funzione integranda in $x=0$ nn è limitata.Quindi tu dici di applicare il teorema per vedere se la funzione integranda è sommabile o no?
Cioè vedere per quali valori di $\alpha$ esiste finito il seguente limite:$lim_(x->0^+) t^3/(sqrt(e^(t^2)-1))t^(\alpha)$
Ora nel mio libro distingue 2 casi:
1. se $0=1$.
2. se l=0 la funzione $f$ è sommabile nel caso $\alpha<1$, mentre nulla può dirsi sulla sommabilità nel caso $\alpha>=1$
E' questo quello ke devo applicare giusto?

[adaBTTLS1]

sì, è meglio non entrare nel merito del simbolismo ... comunque il teorema è quello.

[identikit_man-votailprof]

Ma guardando questo limite nn posso subito concludere che qualunque sia il valore di $\alpha$ per $x->0^+$ il limete sarà sempre $0$.Quindi ad esempio se io considero $\alpha=1/2$ la funzione risulterà sommabile.Giusto o sbagliato?
quindi come conseguenza il dominio della funzione integrale sarà $]-\infty,+infty[$

[adaBTTLS1]

si, va bene. va considerato anche il caso per $x->0^-$, per il quale non cambia nulla.