Studio funzione in due variabili
Ciao a tutti!Non riesco a terminare lo studio della seguente funzione in due variabili:
$f(x,y)=1/2x^2y^3-xy^2+1/2y^2$
Ho trovato i punti critici che sono $A(1/2,0)$ , $B(2,1/2)$ e il luogo di punti critici $y=0$.
Tramite l'Hessiano mi rendo conto che $B$ è un punto di minimo,mentre per il punto $A$ l'hessiano risulta nullo.
Perciò arrivati a questo punto noto che $f(x,0)=0$ e mi manca da studiare quando $f(x,y)>=0$.
Raccogliendo $y^2$ avrò:
$y^2(1/2x^2y-x+1/2)>=0$
e adesso come continuo???lo studio dei segni tramite il grafico non mi pare sia la via più adatta,in quanto quel $1/2x^2y-x+1/2$ non so proprio come rappresentarlo!Qualcuno può darmi una mano??Grazie!!
$f(x,y)=1/2x^2y^3-xy^2+1/2y^2$
Ho trovato i punti critici che sono $A(1/2,0)$ , $B(2,1/2)$ e il luogo di punti critici $y=0$.
Tramite l'Hessiano mi rendo conto che $B$ è un punto di minimo,mentre per il punto $A$ l'hessiano risulta nullo.
Perciò arrivati a questo punto noto che $f(x,0)=0$ e mi manca da studiare quando $f(x,y)>=0$.
Raccogliendo $y^2$ avrò:
$y^2(1/2x^2y-x+1/2)>=0$
e adesso come continuo???lo studio dei segni tramite il grafico non mi pare sia la via più adatta,in quanto quel $1/2x^2y-x+1/2$ non so proprio come rappresentarlo!Qualcuno può darmi una mano??Grazie!!
Risposte
Prova a trovare un raggio $r$ t.c.,
tra i punti d'ordinata non nulla del cerchi delimitato dalla circ.d'equazione $(x-1/2)^2+y^2=r^2$,
ve ne sono alcuni che rendono positivo il II° fattore di quella decomposizione ed altri che lo rendono negativo:
se ci riesci,cosa potresti dedurne?
Facci sapere:
saluti dal web.
tra i punti d'ordinata non nulla del cerchi delimitato dalla circ.d'equazione $(x-1/2)^2+y^2=r^2$,
ve ne sono alcuni che rendono positivo il II° fattore di quella decomposizione ed altri che lo rendono negativo:
se ci riesci,cosa potresti dedurne?
Facci sapere:
saluti dal web.
Scusami ma non riesco a capire e seguire il tuo ragionamento 
sono completamente in tilt!Ragazzi abbiate pazienza con me,che sono un pò lenta negli esercizi normali,figuriamoci in quelli che richiedono qualche sforzo in più 
sono completamente in tilt!Ragazzi abbiate pazienza con me,che sono un pò lenta negli esercizi normali,figuriamoci in quelli che richiedono qualche sforzo in più
Và bene,allora facciamo così:
poni r=1 e considera i punti $P_1=(1/2,r/2)=(1/2,1/2)$ e $P_2=(1/2,-r/2)=(1/2,-1/2)$..
Cosa può dirsi della loro appartenenza al cerchio associato alla circ.(di centro $A$..)d'equazione $(x-1/2)^2+y^2=1$?
Ci stanno?
Direi di si:
ma perchè?
Ed ancora mi chiedo:
cosa può dirsi di $f(P_1),f(P_2)$?
Sono entrambi non minori di $f(A)=0$?
Sono entrambi non maggiori di $f(A)$(sempre uguale a 0..)?
Mi pare che la risposta sia no in entrambi i casi;
pertanto,se $EEr in(0,+oo)$ t.c. $f(x,y)<=f(A)$ $AA(x,y) in I(A,r)$(*),tale r non è certo 1:
e la conclusione sarebbe analoga se quel segno di $<=$ fosse invece un $>=$..
Allora questo $r$ soddisfacente la (*),SE C'E',è un qualunque altro numero reale positivo
(ovviamente,per quanto appena detto,$ne1$..):
ammesso allora che ci sia e chiamiatolo $overline(r)$,
poniamo,ancora una volta,$P_1=(1/2,(overline(r))/2)$,$P_2=(1/2,-(overline(r))/2)$..
Potremo allora ripetere considerazioni analoghe a quelle del caso r=1
(ad ex $(1/2-1/2)^2+(-r/2)^2=(r^2)/40,f(P_2)=...=-(overline(r))/16<0$..),
pervenendo alla medesima conclusione:
quell'$overline(r)$ non può cioè essere uguale a se stesso!!
Ma i numeri non sono persone
(che,a detta d'un mio illustre conterraneo,potevan essere al contempo uno,nessuno e centomila..)$*$,
e questa cosa è dunque alquanto contraddittoria;
pertanto la (*) è falsa(lo sarebbe pure col segno di $>=$,per ragioni analoghe..),e più di questo non posso proprio dirti:
parli tu,ora?
$*$[OT]nè tanto meno le persone sono numeri,
contrariamente a quanto ritengono certi scarsi conoscitori della Storia che colpevolmente abbiam lasciato gestissero il potere socio-economico,legislativo e politico!![/OT],
Saluti dal web.
poni r=1 e considera i punti $P_1=(1/2,r/2)=(1/2,1/2)$ e $P_2=(1/2,-r/2)=(1/2,-1/2)$..
Cosa può dirsi della loro appartenenza al cerchio associato alla circ.(di centro $A$..)d'equazione $(x-1/2)^2+y^2=1$?
Ci stanno?
Direi di si:
ma perchè?
Ed ancora mi chiedo:
cosa può dirsi di $f(P_1),f(P_2)$?
Sono entrambi non minori di $f(A)=0$?
Sono entrambi non maggiori di $f(A)$(sempre uguale a 0..)?
Mi pare che la risposta sia no in entrambi i casi;
pertanto,se $EEr in(0,+oo)$ t.c. $f(x,y)<=f(A)$ $AA(x,y) in I(A,r)$(*),tale r non è certo 1:
e la conclusione sarebbe analoga se quel segno di $<=$ fosse invece un $>=$..
Allora questo $r$ soddisfacente la (*),SE C'E',è un qualunque altro numero reale positivo
(ovviamente,per quanto appena detto,$ne1$..):
ammesso allora che ci sia e chiamiatolo $overline(r)$,
poniamo,ancora una volta,$P_1=(1/2,(overline(r))/2)$,$P_2=(1/2,-(overline(r))/2)$..
Potremo allora ripetere considerazioni analoghe a quelle del caso r=1
(ad ex $(1/2-1/2)^2+(-r/2)^2=(r^2)/4
pervenendo alla medesima conclusione:
quell'$overline(r)$ non può cioè essere uguale a se stesso!!
Ma i numeri non sono persone
(che,a detta d'un mio illustre conterraneo,potevan essere al contempo uno,nessuno e centomila..)$*$,
e questa cosa è dunque alquanto contraddittoria;
pertanto la (*) è falsa(lo sarebbe pure col segno di $>=$,per ragioni analoghe..),e più di questo non posso proprio dirti:
parli tu,ora?
$*$[OT]nè tanto meno le persone sono numeri,
contrariamente a quanto ritengono certi scarsi conoscitori della Storia che colpevolmente abbiam lasciato gestissero il potere socio-economico,legislativo e politico!![/OT],
Saluti dal web.
Grande! devo dire che ho apprezzato tantissimo l'idea di trasbordare di un epsilon!!! io ho osservato che il punto incriminato è uno zero della funzione, quindi studiandone il segno(magari disegnandolo sul piano x-y) [tex]f(x,y)>=0[/tex] per[tex]y=0[/tex] o [tex]y>=(2x-1)/x^2[/tex],il grafico di [tex]y=(2x-1)/x^2[/tex] fa proprio da confine, indi se stai sopra il grafico, la funzia è positiva altresì negativa (ovviamente se y=0 f(x,y)=0) Quì invece correggetemi se sbaglio...non basta notare che la derivata terza in y (nel punto) è diversa da zero, ...quindi la prima approssimazione di f(x,y) che si può fare è di forma cubica che ovviamente a seconda della direzione in cui ti muovi è positiva o negativa!?
Per amor di completezza stavo pensando che il luogo y=0 è di massimi se x>1/2 viceversa è di minimi...ciò discende dallo studio del segno!!e ti sarà palese se fai il disegno!!!! a dimenticavo... buon giorno a tutti!!!
Buongiorno ad entrambi!
D'accordo sulle vostre osservazioni,ma....
siete sicuri che la via più veloce e d'immediata comprensione
(l'autore del post iniziale aveva specificato che lo studio del segno di f(x,y),
cui s'era correttamente ricondotto per lo "studio locale" in un intorno del punto stazionario ad Hessiano nullo A,
lo stava mettendo in difficoltà!)
non sia verificare come,per la funzione f in esame,si ha che
$AArin(0,+oo)$ $EEP_1(r),P_2(r) in I(A,r)$ $t.c.$ $f(P_1(r))>f(A)=0$ $e$ $f(P_2(r))
In fondo la (1) è la negazione delle proposizioni $EEr in(0,+oo)$ $t.c.$ $f(P)<=f(A)(oppure$ $f(P)>=f(A)..$) $AAP inI_d(A,r)$
(d è l'usuale distanza euclidea in $RR^2$,chiaramente),
che a norma di definizione equivarrebbero a dire che A è un punto di max o min relativo:
mi sfugge qualcosa,o stò ritenendo semplice un approccio che,per capire come A sia "di sella",non lo è?
Saluti dal web.
D'accordo sulle vostre osservazioni,ma....
siete sicuri che la via più veloce e d'immediata comprensione
(l'autore del post iniziale aveva specificato che lo studio del segno di f(x,y),
cui s'era correttamente ricondotto per lo "studio locale" in un intorno del punto stazionario ad Hessiano nullo A,
lo stava mettendo in difficoltà!)
non sia verificare come,per la funzione f in esame,si ha che
$AArin(0,+oo)$ $EEP_1(r),P_2(r) in I(A,r)$ $t.c.$ $f(P_1(r))>f(A)=0$ $e$ $f(P_2(r))
In fondo la (1) è la negazione delle proposizioni $EEr in(0,+oo)$ $t.c.$ $f(P)<=f(A)(oppure$ $f(P)>=f(A)..$) $AAP inI_d(A,r)$
(d è l'usuale distanza euclidea in $RR^2$,chiaramente),
che a norma di definizione equivarrebbero a dire che A è un punto di max o min relativo:
mi sfugge qualcosa,o stò ritenendo semplice un approccio che,per capire come A sia "di sella",non lo è?
Saluti dal web.
si ma è l'unico punto dell'insieme ad essere de sella!!! gli altri son massimi o minimi come suddetto prima...io il gradiente non l'ho manco calcolato... la deduzione è a gratis facendo lo studio del segno globale.(o anche locale arrivando allo sviluppo del terz'ordine)! e credo che quel punto lo caga fuori dall'hessiana...essendo l'unico punto dell'iniseme incriminato a rendere nulli gli autovalori!!! perciò non si possono fare affermazioni sulla natura di quel punto fermandosi a uno sviluppo del second'ordine... infatti nell'intorno del punto ha un'andamento cubico il che garantisce che sia de sella...(credo addirittura che basti l'esistenza di una derivata terza rispetto alla stessa variabile diversa da 0 a garantire che il punto sia di sella)..poichè non abbiam contributi ne dallo sviluppo fatto col gradiente ne da quello con l'hesssiana...la derivata è un elemento diagolale non nullo e quindi garantisce almeno un autovalore diverso da zero...o che esiste l'approssimazione cubica...vedetela come ve pare...e ogni approssimazione cubica a seconda di come te muovi assume valori positivi o negativi...indi il centro dell'approssimazione un punto di sella!!!
poi ribadisco è concettualmene più tranchilo lo studio del segno globale... frammenti il piano xy nelle zone positive e negative e nulle e tanti saluti!! li vedi bene proprio il luogo dei punti e come si comporta...ed il fato che quel punto è na ssella ti risulterà lampante!
grazie a tutti anzitutto!questo esercizio mi mette in difficoltà,in quanto ciò che ho studiato io si limita all'hessiano per trovare la natura dei punti critici,in caso di hessiano nullo mi è stato insegnato di studiare il segno tramite il grafico della funzione,o altrimenti se questo non è immediato studiare le restrizioni della funznione rispetto a quel dato punto!ora,se questo esercizio mi viene presentato all'appello,ovvio che avendo solo a disposizione la mia testa e le poche nozioni che il mio prof mi ha insegnato,non penso io possa risolverlo!(basandomi sulle poche esercitazioni fatte in aula,molto fattibili d'altronde)..io da ciò non ci ho capito nulla!tanto di cappello a voi ovviamente!!scusate per il piccolo sfogo nei confronti di alcuni incompetenti che ti mettono solo i bastoni tra le ruote,un saluto a tutti!
guarda che lo studio del segno è ciò che ti ho consigliato di fare!!!
P.S. i più e i meno indicano le zone del dominio in cui la funzione assume valori positivi...quelle in grassetto i valori nulli!!! la retta y=0 è luogo di massimi per x>1/2 e di minimi per x<1/2...c'è na sella nel punto!!! vedi si o vedi no?
P.S. i più e i meno indicano le zone del dominio in cui la funzione assume valori positivi...quelle in grassetto i valori nulli!!! la retta y=0 è luogo di massimi per x>1/2 e di minimi per x<1/2...c'è na sella nel punto!!! vedi si o vedi no?
certo,è chiarissimo,ma sto grafico come te lo sei ricavato?non mi pare sia una curva immediata(del tipo una ellisse,circonferenza che riconosci dall'equazione..),ecco perchè chiedevo se c'era altro modo per risolvere l'esercizio,io mi proietto sempre in una situazione d'esame,in cui non hai nulla se non la tua testa e na calcolatrice!non so se mi son spiegata,cmq grazie lo stesso!
Se mi chiedi da cosa discende,semplice,dallo studio del segno [tex]y^2(\frac{1}{2}x^2y-x\frac{1}{2})>=0[/tex] il primo quadrato non ti crea problemi(annulla la funzione per y=0, per il resto il segno dipende SOLO dal secondo membro del prodotto). perciò studi SOLO la seconda parte [tex](\frac{1}{2}x^2y-x+\frac{1}{2})>=0[/tex] espliciti la y e voilà [tex]y>=\frac{2x-1}{x^2}[/tex]!!! se invece la domanda è come ho fatto a fare lo studio di funzione(Analisi I)...beh diciamo che è stato un impegnativo studio qualitativo di 30 sec... atto a vedere le intersezioni con gli assi e il comportamento agli estremi del dominio!!!
ecco,adesso mi è chiaro!avevo detto che c'era bisogno di pazienza con me,sarà colpa dello stress,boh!!grazie mille!!!;D
figurati!
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