Studio funzione $g(x,y)=(\|x\|-xy)^2 e^(xy-\|x\|)$
Salve ragazzi!
E' la prima volta che mi imbatto nello studio di una funzione a due variabili , ho tale funzione :
$g(x,y)=(\|x\|-xy)^2e^(xy-\|x\|)$ la riscrivo come : $g(x,y)=h(f(x,y))$ con
$f(x,y)=\|x\|-xy \qquad \forall x \in \R^2$ $\qquad h(t)=t^2e^-t \qquad \forall t \in \R$
Per prima cosa studio : $h(t)=t^2e^-t $
Domino : $A=\R$ ;
Non esistono asintoti verticali ;
Asintoti Orizzontali : $lim_{(t->-\infty)} h(t) = 0 \qquad lim_{(t->\infty)} h(t) = \infty $
Derivata Prima : $h'(t)$ ne segue $t=0$ punto minimo e $t=2$ punto di massimo .
Grafico :
Adesso passo allo studio di : $f(x,y)=\|x\|-xy $
La scrivo come:
$f(x,y)=\|x\|-xy$=
$x-xy$ per le $x>=0$ ed $-x-xy$ per le $x<0$
Quindi avrò due leggi , Caso $x>0$
$f(x,y)=x-xy$ ;
Calcolo derivate parziali :$f_x = 1-y \qquad f_y=-x$
Cerco i punti critici e trovo $P=(0;1)$ Ma non è un punto accettabile , ripeto lo stesso procedimento per il caso $x<0$ e trovo il punto $P'=(0;-1)$ anch'esso non accettabile!
Ora studio i punti del tipo $(0,y)$ con $y \in \R$ Fisso $(0;\bar{y})$
$f(0;\bar{y})=0 \qquad quindi \qquad f(x;y)>=0$ Ne segue :
$(0;y)$ con $\|y\|>1 $ punto di sella per f
$(0;y)$ con $\|y\|<1 $ punto minimo relativo per f
Grafico :
Ora mi chiedo... dovrei unire i due risultati che ho trovato nelle due funzioni..ma come si fa? sapreste aiutarmi?
E' la prima volta che mi imbatto nello studio di una funzione a due variabili , ho tale funzione :
$g(x,y)=(\|x\|-xy)^2e^(xy-\|x\|)$ la riscrivo come : $g(x,y)=h(f(x,y))$ con
$f(x,y)=\|x\|-xy \qquad \forall x \in \R^2$ $\qquad h(t)=t^2e^-t \qquad \forall t \in \R$
Per prima cosa studio : $h(t)=t^2e^-t $
Domino : $A=\R$ ;
Non esistono asintoti verticali ;
Asintoti Orizzontali : $lim_{(t->-\infty)} h(t) = 0 \qquad lim_{(t->\infty)} h(t) = \infty $
Derivata Prima : $h'(t)$ ne segue $t=0$ punto minimo e $t=2$ punto di massimo .
Grafico :
Adesso passo allo studio di : $f(x,y)=\|x\|-xy $
La scrivo come:
$f(x,y)=\|x\|-xy$=
$x-xy$ per le $x>=0$ ed $-x-xy$ per le $x<0$
Quindi avrò due leggi , Caso $x>0$
$f(x,y)=x-xy$ ;
Calcolo derivate parziali :$f_x = 1-y \qquad f_y=-x$
Cerco i punti critici e trovo $P=(0;1)$ Ma non è un punto accettabile , ripeto lo stesso procedimento per il caso $x<0$ e trovo il punto $P'=(0;-1)$ anch'esso non accettabile!
Ora studio i punti del tipo $(0,y)$ con $y \in \R$ Fisso $(0;\bar{y})$
$f(0;\bar{y})=0 \qquad quindi \qquad f(x;y)>=0$ Ne segue :
$(0;y)$ con $\|y\|>1 $ punto di sella per f
$(0;y)$ con $\|y\|<1 $ punto minimo relativo per f
Grafico :
Ora mi chiedo... dovrei unire i due risultati che ho trovato nelle due funzioni..ma come si fa? sapreste aiutarmi?
Risposte
ciao
non ho capito perchè metti t alla seconda, io avrei scritto
$h(t)=te^(-t)$
mi perdo qualcosa?
non ho capito perchè metti t alla seconda, io avrei scritto
$h(t)=te^(-t)$
mi perdo qualcosa?
Errore di battitura , correggo immediatamente!
"MillesoliSamuele":
...
Derivata Prima : $h'(t)$ ne segue $t=0$ punto minimo e $t=2$ punto di massimo .
Grafico :
La prima riga di questo quote è sbagliata, non c'è nessun massimo. Hai postato pure il grafico. (Forse intendi un massimo "locale"?)
Avrò sbagliato i conti.. Ma aggiustandoli come dovrei procedere?
cminciamo da $h(t)$, ora che l'hai corretta, qual è la sua derivata?
$h'(t)=frac{d t^2}{d e^t}=frac{2te^t - t^2 e^t}{(e^t)^2}=frac{e^t(2t-t^2)}{(e^t)^2}=frac{2t-t^2}{e^t}$ ne segue :
$2t-t^2>0$
$t(2-t)>0$
In effetti si non vi è nessun massimo!
$2t-t^2>0$
$t(2-t)>0$
In effetti si non vi è nessun massimo!
No aspetta adesso non vorrei confondere. Un massimo locale si c'è, per $t=2$. Però non è il massimo globale. Ma cosa hai scritto? Non eri proprio tu quello che diceva
Non puoi MAI derivare rispetto ad una funzione!
Il locale si certo.Non vedo qui cosa c'entri..,non ti seguo , quello era un altro contesto.
parlate di un altro thread?
Anyway, si vede che sbaglio qualcosa perché a me viene diverso:
$h'(t)=(1-t)/(e^t)$
Anyway, si vede che sbaglio qualcosa perché a me viene diverso:
$h'(t)=(1-t)/(e^t)$
gio73: la derivata dipende da quale sia h(t),se sia $ h(t)=t^2e^(-t) $ oppure $ h(t)=te^(-t) $ come si e' corretto in un messaggio precedente. Onestamente poi non ho capito bene se pero' la funzione g(x,y) sia quella del titolo della discussione o senza il quadrato, come appare in un solo post... 
La derivata è costruita per $h(t)=t^2e^-t$ e la $g(x;y)=(\|x\|-xy)^2e^(xy-\|x\|)$
ah ok
avevo preso per buona la funzione dove non c'era l'esponente 2
avevo preso per buona la funzione dove non c'era l'esponente 2
Come dovrei procedere a questo punto?
Comincia a studiare il segno, anche se banale di f(x,y) e i punti dove questa funzione si annulla.
Intendevo semplicemente:
$ f(x,y)>=0" "AA(x,y)inmathbb(R)^2 $
$ f(x,y)=0 $ cioe' $ |x|-xy=0 $ nei punti
$ (0,y)" "AAyinRR $,
$ (x,1)" "x>0" "x\inRR $ e
$ (x,-1)" "x<0" "x\inRR $
quindi tali punti sono di minimo assoluti deboli.
Poi si nota che sulle curve $ xy-|x|=k $ cioe' $ y=k/x+|x|/x $ la funzione $ f(x,y) $ e' costante. Con un cambio di coordinate per i punti $ x>0 $ del tipo:
$ { ( x=tilde(x) ),( y=1+k/tilde(x) ):} $
che e' valido per i punti con $ x>0 $ ma diversi da $ x=0 $ e $ y=1 $
si ha
$ f(tilde(x),k)=k^2e^k $
che e' una funzione indipendente da $ tilde(x) $ e quindi:
$ { ((partialf)/(partialtilde(x))=0 ), ((partialf)/(partialk)=(2k+k^2)e^k):} $
quindi i punti stazionari che trovo per $ (partialf)/(partialk)=0 $ annullano automaticamente anche la derivata in $ tilde(x) $. In altre parole sono ridotto allo studio di una funzione in una variabile...
$ f(x,y)>=0" "AA(x,y)inmathbb(R)^2 $
$ f(x,y)=0 $ cioe' $ |x|-xy=0 $ nei punti
$ (0,y)" "AAyinRR $,
$ (x,1)" "x>0" "x\inRR $ e
$ (x,-1)" "x<0" "x\inRR $
quindi tali punti sono di minimo assoluti deboli.
Poi si nota che sulle curve $ xy-|x|=k $ cioe' $ y=k/x+|x|/x $ la funzione $ f(x,y) $ e' costante. Con un cambio di coordinate per i punti $ x>0 $ del tipo:
$ { ( x=tilde(x) ),( y=1+k/tilde(x) ):} $
che e' valido per i punti con $ x>0 $ ma diversi da $ x=0 $ e $ y=1 $
si ha
$ f(tilde(x),k)=k^2e^k $
che e' una funzione indipendente da $ tilde(x) $ e quindi:
$ { ((partialf)/(partialtilde(x))=0 ), ((partialf)/(partialk)=(2k+k^2)e^k):} $
quindi i punti stazionari che trovo per $ (partialf)/(partialk)=0 $ annullano automaticamente anche la derivata in $ tilde(x) $. In altre parole sono ridotto allo studio di una funzione in una variabile...
Concludendo:
Per $ x>=0 $
$ (partialf)/(partialk)=0 $ se $ k=-2 $
[ho corretto nel precedente messaggio la derivata in quanto l'avevo scritta sbagliata]
quindi in coordinate (x,y) ho una curva $ y=(x-2)/x $ di massimi.
I minimi gia' si conoscevano: $ x=0 $ e $ y=1 $.
Per x<0 si procede similmente.
Per $ x>=0 $
$ (partialf)/(partialk)=0 $ se $ k=-2 $
[ho corretto nel precedente messaggio la derivata in quanto l'avevo scritta sbagliata]
quindi in coordinate (x,y) ho una curva $ y=(x-2)/x $ di massimi.
I minimi gia' si conoscevano: $ x=0 $ e $ y=1 $.
Per x<0 si procede similmente.
Perfetto , poi ci ho riprovato e quadrava tutto! Ora ho ben capito come si procede grazie anche ad altri esempio fatti in classe.
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
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