Studio funzione esponenziale
ciao ho bisogno del vostro aiuto con lo studio e il grafico della funzione:
$f(x)=e^{-x}\sqrt{x+1}$
ho iniziato a svolgerlo.
Il campo di esistenza della funzione è $\forall x\in \mathbb{R}$
la funzione non è nè pari nè dispari, quindi non ha simmetrie.
Per l'intersezione con gli assi ho trovato che:
il punto di intersezione con l'asse y è $ A=(0,1)$ , mentre quello con l'asse x è $B=(-1,0)$
ora dovrei calcolare lo studio del segno, gli asintoti, la derivata prima e la derivata seconda.
se mi potete aiutare.
grazie.
$f(x)=e^{-x}\sqrt{x+1}$
ho iniziato a svolgerlo.
Il campo di esistenza della funzione è $\forall x\in \mathbb{R}$
la funzione non è nè pari nè dispari, quindi non ha simmetrie.
Per l'intersezione con gli assi ho trovato che:
il punto di intersezione con l'asse y è $ A=(0,1)$ , mentre quello con l'asse x è $B=(-1,0)$
ora dovrei calcolare lo studio del segno, gli asintoti, la derivata prima e la derivata seconda.
se mi potete aiutare.
grazie.
Risposte
Innanzitutto il dominio della funzione non è assolutamente R, abbiamo in gioco una radice 
Le intersezioni con gli assi sono corrette.
Per quanto riguarda il segno, poni $ f(x)>=0 $ , e vedi cosa viene fuori.
Per gli asintoti, una volta trovato il dominio corretto, calcola i limiti agli estremi del dominio.
Infine studia la monotonia derivando la funzione e ponendola $ >=0 $ in modo da trovarti eventuali massimi e minimi.
Se calcoli anche la derivata seconda potrai trovare la convessità e gli eventuali flessi.
Le intersezioni con gli assi sono corrette.
Per quanto riguarda il segno, poni $ f(x)>=0 $ , e vedi cosa viene fuori.
Per gli asintoti, una volta trovato il dominio corretto, calcola i limiti agli estremi del dominio.
Infine studia la monotonia derivando la funzione e ponendola $ >=0 $ in modo da trovarti eventuali massimi e minimi.
Se calcoli anche la derivata seconda potrai trovare la convessità e gli eventuali flessi.
allora i dominio risulta essere:
$x\in \mathbb{R}: x>-1$
per quanto riguarda il segno della funzione:
la funzione nel proprio dominio risulta essere sempre positiva.
mi potresti aiutare con gli asintoti e le derivate.
per favore. grazie.
$x\in \mathbb{R}: x>-1$
per quanto riguarda il segno della funzione:
la funzione nel proprio dominio risulta essere sempre positiva.
mi potresti aiutare con gli asintoti e le derivate.
per favore. grazie.
Non ci siamo ancora con il dominio:
Il radicando deve essere posto $ >=0 $
$ x+1>=0 -> x>=-1 $
Pertanto il dominio risulta $ [-1,+oo) $ oppure scritto $ x>=-1 $.
Per quanto riguarda gli asintoti devi studiare i limiti agli estremi dell'insieme di definizione.
Non occorre per -1 dato che appartiene al dominio, basta fare $ f(-1) $ , mentre si studia il comportamento al''infinito.
$ lim_(x->+oo) e^(-x)sqrt(x+1) $ , che fa?
E sì, la funzione è sempre positiva o al più 0.
Il radicando deve essere posto $ >=0 $
$ x+1>=0 -> x>=-1 $
Pertanto il dominio risulta $ [-1,+oo) $ oppure scritto $ x>=-1 $.
Per quanto riguarda gli asintoti devi studiare i limiti agli estremi dell'insieme di definizione.
Non occorre per -1 dato che appartiene al dominio, basta fare $ f(-1) $ , mentre si studia il comportamento al''infinito.
$ lim_(x->+oo) e^(-x)sqrt(x+1) $ , che fa?
E sì, la funzione è sempre positiva o al più 0.
va bene..
allora abbiamo
$\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{-x}\sqrt{x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x(1+\frac{1}{x})}}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}\sqrt{(1+\frac{1}{x})}}{e^{x}} =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{(1+\frac{1}{x})}=0\cdot 1=0$
quindi y=0 asintoto orizzontale.
Non essendoci punti esclusi dal dominio non esistono asintoti verticali.
ora mi potresti mostrare i passaggi per i calcolo delle derivate e dei punti di massimo e minino e di flesso.
spero che mi aiuterai..
che sti impazzendo.
grazie.
allora abbiamo
$\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{-x}\sqrt{x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x+1}}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x(1+\frac{1}{x})}}{e^{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}\sqrt{(1+\frac{1}{x})}}{e^{x}} =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{(1+\frac{1}{x})}=0\cdot 1=0$
quindi y=0 asintoto orizzontale.
Non essendoci punti esclusi dal dominio non esistono asintoti verticali.
ora mi potresti mostrare i passaggi per i calcolo delle derivate e dei punti di massimo e minino e di flesso.
spero che mi aiuterai..
che sti impazzendo.
grazie.
Inizi calcolandoti la derivata della funzione:
$ f'(x)= -e^(-x)sqrt(x+1)+e^(-x)*1/2(x+1)^(-1/2)=...= -(e^(-x)(2x+1))/( 2sqrt(x+1)) $
Poi si pone: $ f'(x)>=0 $
$ -(e^(-x)(2x+1))/(2sqrt(x+1)) >=0 $
Consideriamo prima il numeratore:
$ -e^(-x)(2x+1)>=0\Leftrightarrow -2x-1>=0 hArr x<=-1/2 $
Consideriamo il denominatore:
$ 2sqrt(x+1)hArr x+1>=0hArr x>=-1 $
Risolvendo il sistema troviamo che la funzione cresce da $ -1 $ a $ -1/2 $ e poi decresce da $ -1/2 $ al resto del dominio.
Pertanto $ -1/2 $ è un punto di massimo, oltretutto assoluto, per la funzione.
Vai a sostituire il punto nella funzione iniziale e trovi la coordinata y del massimo
Prova tu con la derivata seconda
$ f'(x)= -e^(-x)sqrt(x+1)+e^(-x)*1/2(x+1)^(-1/2)=...= -(e^(-x)(2x+1))/( 2sqrt(x+1)) $
Poi si pone: $ f'(x)>=0 $
$ -(e^(-x)(2x+1))/(2sqrt(x+1)) >=0 $
Consideriamo prima il numeratore:
$ -e^(-x)(2x+1)>=0\Leftrightarrow -2x-1>=0 hArr x<=-1/2 $
Consideriamo il denominatore:
$ 2sqrt(x+1)hArr x+1>=0hArr x>=-1 $
Risolvendo il sistema troviamo che la funzione cresce da $ -1 $ a $ -1/2 $ e poi decresce da $ -1/2 $ al resto del dominio.
Pertanto $ -1/2 $ è un punto di massimo, oltretutto assoluto, per la funzione.
Vai a sostituire il punto nella funzione iniziale e trovi la coordinata y del massimo
Prova tu con la derivata seconda
allora per la derivata seconda ho:
$f''(x)=e^{-x}\frac{4x^2+4x-1}{4({x+1})^{3/2}}$
la derivata seconda è positiva per valori di
$x > \frac{-1+\sqrt{2}}{2}$
va bene?
ci sono altre considerazioni che devo fare?
mi puoi aiutare a tracciare il grafico.
grazie.
$f''(x)=e^{-x}\frac{4x^2+4x-1}{4({x+1})^{3/2}}$
la derivata seconda è positiva per valori di
$x > \frac{-1+\sqrt{2}}{2}$
va bene?
ci sono altre considerazioni che devo fare?
mi puoi aiutare a tracciare il grafico.
grazie.
Esatto e quindi puoi concludere che quel punto è un flesso, ovvero in quel punto la funzione è cambia concavità
A questo punto hai tutte le informazioni per tracciare il grafico, parti da -1 e di lì applichi tutto ciò che abbiamo ricavato, in particolare la monotonia dellaf unzione
A questo punto hai tutte le informazioni per tracciare il grafico, parti da -1 e di lì applichi tutto ciò che abbiamo ricavato, in particolare la monotonia dellaf unzione
ok grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo