Studio funzione (esercizio)
Ciao,
ho il seguente esercizio:
Si consideri $f(x)=e^(-x)+x^2-2$,
determinare che f possiede una sola radice nell'intervallo $I=[-1,0]$ e che non ne ammette altre altrove
Ho utilizzato il teorema degli zeri per dimostrare che possiede almeno una radice in $I$:
-$f(-1)f(0)<0$
- f è continua su R, quindi in particolare in I
Poi per dimostrare che possiede un'unica radice verifico che $f''!=0$ :
$f'' =e^(-x)+ 2 !=0$ per ogni R
Quindi, siccome $f'' !=0$ sempre, la funzione ha un' unica radice e quindi non ne possiede altre in R\I
E' corretto? POsso usare altri modi per risolvere il problema?
Grazie e buon anno
ho il seguente esercizio:
Si consideri $f(x)=e^(-x)+x^2-2$,
determinare che f possiede una sola radice nell'intervallo $I=[-1,0]$ e che non ne ammette altre altrove
Ho utilizzato il teorema degli zeri per dimostrare che possiede almeno una radice in $I$:
-$f(-1)f(0)<0$
- f è continua su R, quindi in particolare in I
Poi per dimostrare che possiede un'unica radice verifico che $f''!=0$ :
$f'' =e^(-x)+ 2 !=0$ per ogni R
Quindi, siccome $f'' !=0$ sempre, la funzione ha un' unica radice e quindi non ne possiede altre in R\I
E' corretto? POsso usare altri modi per risolvere il problema?
Grazie e buon anno
Risposte
Non è vero che la funzione $f(x)=e^(-x)+x^2-2$ ammette solo una radice.
Ce n'è (almeno) un'altra, nell'intervallo $[0,2]$.
infatti $f(0)= -1<0$ e $f(2)=e^(-2)+2>0$
Ce n'è (almeno) un'altra, nell'intervallo $[0,2]$.
infatti $f(0)= -1<0$ e $f(2)=e^(-2)+2>0$
ah ecco, grazie
ma come faccio in genere per capire che ci sono altre radici e in che intervalli sono?
ma come faccio in genere per capire che ci sono altre radici e in che intervalli sono?
Facendo lo studio della funzione. Ma nel modo corretto.
Bisogna studiare la derivata prima, cosa che tu non hai fatto (hai analizzato solo la derivata seconda).
Bisogna studiare la derivata prima, cosa che tu non hai fatto (hai analizzato solo la derivata seconda).
Ciao Gi8
qui Lucia dice alcune cose che non capisco, tra cui la questione della derivata seconda diversa da 0.
qui Lucia dice alcune cose che non capisco, tra cui la questione della derivata seconda diversa da 0.
Sinceramente, non capisco nemmeno io.
Il fatto che $f''$ non si annulli mai non è sufficiente a garantire che $f$ non abbia altre radici.
Questo esercizio ne è la prova.
PS: ciao gio
Il fatto che $f''$ non si annulli mai non è sufficiente a garantire che $f$ non abbia altre radici.
Questo esercizio ne è la prova.
PS: ciao gio
Ok,allora faccio lo studio della funzione per verificare l'esistenza di zeri o meno.
Ad esempio ho questa funzione:
$f(x)=e^x+x^3$
Devo dimostrare che esiste ed è unica la radice appartenente all'intervallo $I=[-1,0]$ e che non ne ammette altre altrove.
Inizio col dimostrare che esiste ed è unica $\alpha$ in $I$ tale che $f(\alpha)=0$:
-$f(-1)=(1-e)/e<0$
-$f(0)=1>0$
-$f$ è continua in R, quindi lo è anche in I
Quindi esiste almeno una radice in I
Inoltre essendo: $f'=e^x+3x^2>0$ sempre , la funzione è monotona strettamente crescente quindi lo zero è unico e si trova nell'intervallo I
(in quanto la curva $y=e^x$ è sempre maggiore di $y=-3x^2$)
E' corretto?
2) Invece quando ho $f=x^2-sinx$ e devo trovare gli intervalli in cui ci sono gli zeri
ho provato così: praticamente ho disegnato il grafico di $x^2$ e $sinx$: le intersezioni sono gli zeri
e siccome:
$f>0S <=> $y=x^2>=sinx=y$ :
quindi a livello grafico si vede che c'è uno zero in x=0 e uno in $[0,2;pi/2]$
va bene?
Ad esempio ho questa funzione:
$f(x)=e^x+x^3$
Devo dimostrare che esiste ed è unica la radice appartenente all'intervallo $I=[-1,0]$ e che non ne ammette altre altrove.
Inizio col dimostrare che esiste ed è unica $\alpha$ in $I$ tale che $f(\alpha)=0$:
-$f(-1)=(1-e)/e<0$
-$f(0)=1>0$
-$f$ è continua in R, quindi lo è anche in I
Quindi esiste almeno una radice in I
Inoltre essendo: $f'=e^x+3x^2>0$ sempre , la funzione è monotona strettamente crescente quindi lo zero è unico e si trova nell'intervallo I
(in quanto la curva $y=e^x$ è sempre maggiore di $y=-3x^2$)
E' corretto?
2) Invece quando ho $f=x^2-sinx$ e devo trovare gli intervalli in cui ci sono gli zeri
ho provato così: praticamente ho disegnato il grafico di $x^2$ e $sinx$: le intersezioni sono gli zeri
e siccome:
$f>0S <=> $y=x^2>=sinx=y$ :
quindi a livello grafico si vede che c'è uno zero in x=0 e uno in $[0,2;pi/2]$
va bene?
Il primo esercizio è stato svolto correttamente. Mi sembra corretto anche il secondo,
anche se si fa un po' fatica a decodificarlo (nell'ultima riga c'è un $ di troppo)
anche se si fa un po' fatica a decodificarlo (nell'ultima riga c'è un $ di troppo)
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