Studio funzione due variabili(controllo)
Devo studiare dominio,continuità,derivabilità,differenziabilità della funzione:
$f(x,y)=y(x+1)$ se $y!=0$
$f(x,y)=x^2$ se $y=0$
Scrivo qui come ho svolto l'esercizio,vorrei sapere se/dove ho sbagliato:
Dominio:
Si vede subito che non ci sono limitazioni,quindi è $R^2$.
Continuità:
Nella funzione compaiono solo funzioni continue,quindi $f(x,y)$ è continua.Poi studio la continuità per $y$ che tende a $0$,facendo questo limite $y(x+1)$ mi risulta uguale a $0$;quindi per essere continua deve essere $x^2=0$ cioè $x=0$
Derivabilità:
Calcolo le derivate parziali rispetto ad $x$ ed a $y$,che risultano rispettivamente uguali a $2y$ e $x+1$,vedo subito che il dominio delle derivate non è limitato(è tutto $R^2$),quindi posso dire che la funzione è sempre derivabile.
Differenziabilità
Studio le derivate prime calcolate in precedenza,vedo che sono continue,quindi la funzione è sempre differenziabile.
(Per vedere la derivabilità in $y=0$ devo applicare la formula della derivabilità nel punto )
FINE
Grazie a chiunque voglia perderci un po di tempo
$f(x,y)=y(x+1)$ se $y!=0$
$f(x,y)=x^2$ se $y=0$
Scrivo qui come ho svolto l'esercizio,vorrei sapere se/dove ho sbagliato:
Dominio:
Si vede subito che non ci sono limitazioni,quindi è $R^2$.
Continuità:
Nella funzione compaiono solo funzioni continue,quindi $f(x,y)$ è continua.Poi studio la continuità per $y$ che tende a $0$,facendo questo limite $y(x+1)$ mi risulta uguale a $0$;quindi per essere continua deve essere $x^2=0$ cioè $x=0$
Derivabilità:
Calcolo le derivate parziali rispetto ad $x$ ed a $y$,che risultano rispettivamente uguali a $2y$ e $x+1$,vedo subito che il dominio delle derivate non è limitato(è tutto $R^2$),quindi posso dire che la funzione è sempre derivabile.
Differenziabilità
Studio le derivate prime calcolate in precedenza,vedo che sono continue,quindi la funzione è sempre differenziabile.
(Per vedere la derivabilità in $y=0$ devo applicare la formula della derivabilità nel punto
)FINE
Grazie a chiunque voglia perderci un po di tempo
Risposte
"One":
Devo studiare dominio,continuità,derivabilità,differenziabilità della funzione:
$f(x,y)=y(x+1)$ se $y!=0$
$f(x,y)=x^2$ se $y=0$
Scrivo qui come ho svolto l'esercizio,vorrei sapere se/dove ho sbagliato:
Dominio:
Si vede subito che non ci sono limitazioni,quindi è $R^2$.
Ok.
"One":
Continuità:
Nella funzione compaiono solo funzioni continue,quindi $f(x,y)$ è continua.Poi studio la continuità per $y$ che tende a $0$,facendo questo limite $y(x+1)$ mi risulta uguale a $0$;quindi per essere continua deve essere $x^2=0$ cioè $x=0$
Sbagliato.
Esempio (estremo) in una variabile:
\[\phi (x):=\begin{cases} 1 &\text{, se } x\in \mathbb{Q} \\ 0 &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}\]
è definita per mezzo di funzioni continue, però non è continua.
Per tornare alla tua funzione, basta farsi un disegnino di massima per vedere dove sorgono i problemi.
"One":
Derivabilità:
Calcolo le derivate parziali rispetto ad $x$ ed a $y$,che risultano rispettivamente uguali a $2y$ e $x+1$,vedo subito che il dominio delle derivate non è limitato(è tutto $R^2$),quindi posso dire che la funzione è sempre derivabile.
Sbagliato.
Guarda bene com'è definita la funzione.
"One":
Differenziabilità
Studio le derivate prime calcolate in precedenza,vedo che sono continue,quindi la funzione è sempre differenziabile.
(Per vedere la derivabilità in $y=0$ devo applicare la formula della derivabilità nel punto
Sbagliato, perchè è sbagliato il punto precedente.
Non riesco a capire bene l'errore da me commesso nello studio della continuità. 
Non mi è molto chiaro l'esempio da te fatto utilizzando una sola variabile.
Non mi è molto chiaro l'esempio da te fatto utilizzando una sola variabile.
Vabbè, facciamone uno in due variabili.
Secondo te la funzione:
\[f(x,y):=\begin{cases} 1 &\text{, se } y=0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\]
è continua?
E, se sì, perchè?
E, se no, quali sono i punti di discontinuità?
Secondo te la funzione:
\[f(x,y):=\begin{cases} 1 &\text{, se } y=0 \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}\]
è continua?
E, se sì, perchè?
E, se no, quali sono i punti di discontinuità?
La funzione non è continua.Direi che i punti di discontinuità sono tutti quelli con $y=0$
Sì, la funzione non è continua e le discontinuità stanno tutte sull'asse \(x\)...
Ma non capisco se ti sei buttato ad indovinare, oppure hai fatto qualche ragionamento particolare.
Ad ogni modo, ora capisci perchè la tua funzione iniziale non può essere continua?
Ma non capisco se ti sei buttato ad indovinare, oppure hai fatto qualche ragionamento particolare.
Ad ogni modo, ora capisci perchè la tua funzione iniziale non può essere continua?
Il ragionamento che ho fatto riguardo la continuità della precedente funzione,è stato quello di fare il limite per $y->0$,ottenevo $1$,invece per essere continua dovevo ottenere $0$ (giusto?).
Ritornando alla funzione iniziale,mi sono limitato a vedere che le funzioni presenti erano tutte continue.Poi,per vedere come si comportatva nei punti dove $y=0$,ho fatto il limite per $y->0$,ottenendo come risultato $0$.Quindi per essere continua doveva essere $0=x^2$,cioè $x=0$.
Ritornando alla funzione iniziale,mi sono limitato a vedere che le funzioni presenti erano tutte continue.Poi,per vedere come si comportatva nei punti dove $y=0$,ho fatto il limite per $y->0$,ottenendo come risultato $0$.Quindi per essere continua doveva essere $0=x^2$,cioè $x=0$.
One, ti vedo confuso...
Per facilitare le cose, ti dico esplicitamente come fare.
La tua funzione è:
\[f(x,y):=\begin{cases} y(x+1) &\text{, se } y\neq 0 \\ x^2 &\text{, se } y=0 \end{cases}\]
ed essa è definita in tutto \(\mathbb{R}^2\).
Dato che l'insieme \(E:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y\neq 0\}\) è aperto e che la restrizione \(f|_E\) è continua per com'è definita \(f\), puoi dire che \(f\) è continua in \(E\); tuttavia rimangono fuori dal computo i punti dell'insieme \(X:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y= 0\}\), ossia dell'asse delle ascisse.
Ora, i punti di \(X\) sono d'accumulazione per \(X\) ed \(E\), quindi per verificare se \(f\) è continua nei punti di \(X\) bisogna calcolare esplicitamente i limiti:
\[A:=\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in E} f(x,y) \quad \text{e} \quad B:=\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in X} f(x,y)\]
per ogni fissato \((\bar{x},0)\in X\): se tali limiti sono uguali, la \(f\) sarà continua in \((\bar{x},0)\); altrimenti, no.
Si vede che:
\[\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in E} f(x,y)= \lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in E} y(x+1) =0(\bar{x}+1)=0\]
e:
\[\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0), (x,y)\in X} f(x,y)=\lim_{x\to \bar{x}} f(x,0)=\lim_{x\to \bar{x}} x^2=\bar{x}^2\; ;\]
conseguentemente si ha:
\[A=B \quad \Leftrightarrow \quad \bar{x}=0\]
e dunque la funzione \(f\) è continua in \((0,0)\in X\) ma è discontinua in ogni altro punto \((x,0)\in X\setminus \{(0,0)\}\).
Tirando le somme, la tua funzione è continua in \(E\cup \{(0,0)\}\) che è un sottoinsieme proprio di \(\mathbb{R}^2\); e tutti i punti del tipo \((x,0)\) con \(x\neq 0\) sono di discontinuità per \(f\).
Per facilitare le cose, ti dico esplicitamente come fare.
La tua funzione è:
\[f(x,y):=\begin{cases} y(x+1) &\text{, se } y\neq 0 \\ x^2 &\text{, se } y=0 \end{cases}\]
ed essa è definita in tutto \(\mathbb{R}^2\).
Dato che l'insieme \(E:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y\neq 0\}\) è aperto e che la restrizione \(f|_E\) è continua per com'è definita \(f\), puoi dire che \(f\) è continua in \(E\); tuttavia rimangono fuori dal computo i punti dell'insieme \(X:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y= 0\}\), ossia dell'asse delle ascisse.
Ora, i punti di \(X\) sono d'accumulazione per \(X\) ed \(E\), quindi per verificare se \(f\) è continua nei punti di \(X\) bisogna calcolare esplicitamente i limiti:
\[A:=\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in E} f(x,y) \quad \text{e} \quad B:=\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in X} f(x,y)\]
per ogni fissato \((\bar{x},0)\in X\): se tali limiti sono uguali, la \(f\) sarà continua in \((\bar{x},0)\); altrimenti, no.
Si vede che:
\[\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in E} f(x,y)= \lim_{(x,y)\to (\bar{x},0),\ (x,y)\in E} y(x+1) =0(\bar{x}+1)=0\]
e:
\[\lim_{(x,y)\to (\bar{x},0), (x,y)\in X} f(x,y)=\lim_{x\to \bar{x}} f(x,0)=\lim_{x\to \bar{x}} x^2=\bar{x}^2\; ;\]
conseguentemente si ha:
\[A=B \quad \Leftrightarrow \quad \bar{x}=0\]
e dunque la funzione \(f\) è continua in \((0,0)\in X\) ma è discontinua in ogni altro punto \((x,0)\in X\setminus \{(0,0)\}\).
Tirando le somme, la tua funzione è continua in \(E\cup \{(0,0)\}\) che è un sottoinsieme proprio di \(\mathbb{R}^2\); e tutti i punti del tipo \((x,0)\) con \(x\neq 0\) sono di discontinuità per \(f\).
Ok,credo di aver capito...
Ma quello che dici te,non è simile a quello che ho detto io nel primo post,cioè che la funzione $y(x+1)$ è continua nei punti dove $y!=0$,e per $y=0$ è continua solo se $x=0$?
Ma quello che dici te,non è simile a quello che ho detto io nel primo post,cioè che la funzione $y(x+1)$ è continua nei punti dove $y!=0$,e per $y=0$ è continua solo se $x=0$?
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