Studio funzione dubbio
Ciao,
ho un problema nello studio di funzione.
Data ad esempio questa funzione
$arcsin (sqrt(1-2log^2x))$
Nella risoluzione di questo esercizio c'è scritto:
La funzione è visibilmente continua nel suo dominio.
Le regole di derivazione si possono applicare dove le funzioni elementari di cui f è composizione sono derivabili,cioè dove l'argomento della radice non si annulla $x!= e^(-1/sqrt2),e^(1/sqrt2)$ e dove l'argomento dell'arcoseno è diverso da $+-1$ cioè $x!=1$
La funzione risulta perciò derivabile su $]e^(-1/sqrt2),1[ $ e $]1,e^(1/sqrt2)]$
Sapete dirmi da dove saltano fuori queste considerazioni?
Fino ad ora in tutti gli studio di funzioni non ho mai avuto problemi del genere,
Grazie
ho un problema nello studio di funzione.
Data ad esempio questa funzione
$arcsin (sqrt(1-2log^2x))$
Nella risoluzione di questo esercizio c'è scritto:
La funzione è visibilmente continua nel suo dominio.
Le regole di derivazione si possono applicare dove le funzioni elementari di cui f è composizione sono derivabili,cioè dove l'argomento della radice non si annulla $x!= e^(-1/sqrt2),e^(1/sqrt2)$ e dove l'argomento dell'arcoseno è diverso da $+-1$ cioè $x!=1$
La funzione risulta perciò derivabile su $]e^(-1/sqrt2),1[ $ e $]1,e^(1/sqrt2)]$
Sapete dirmi da dove saltano fuori queste considerazioni?
Fino ad ora in tutti gli studio di funzioni non ho mai avuto problemi del genere,
Grazie
Risposte
Sono semplicemente i campi di esistenza delle singole funzione che composte danno origine alla tua funzione.
Infatti i campi di esistenza delle funzioni sono :
$t>0$ per $\log(t)$
$t>= 0$ per $\sqrt{t}$
$-1<= t <=1$ per $arcsin(t)$
Ora se i campi di esistenza delle funzioni elementari ti sono noti non devi altro che risolvere il sistema di disequazioni che ne deriva.
Cioè visto che la tua funzione è composta da queste tre funzioni elementari, allora devi imporre che gli argomenti delle funzioni elementari all'interno della tua funzione soddisfino tutti contemporaneamente tutte le loro condizioni di esistenza:
quindi dovrai risolvere il sistema:
$$
\begin{cases}x>0 \\ 1-2\log^2(x) \geq 0 \\ -1 \leq \sqrt{1-2\log^2(x)} \leq 1 \end{cases}
$$
dove ovviamente l'ultima disequazione come saprai è una scrittura compatta che rappresenta due disequazioni.
Spero sia chiaro, se non lo fosse chiedi ancora
e Benvenuto nel forum!
Infatti i campi di esistenza delle funzioni sono :
$t>0$ per $\log(t)$
$t>= 0$ per $\sqrt{t}$
$-1<= t <=1$ per $arcsin(t)$
Ora se i campi di esistenza delle funzioni elementari ti sono noti non devi altro che risolvere il sistema di disequazioni che ne deriva.
Cioè visto che la tua funzione è composta da queste tre funzioni elementari, allora devi imporre che gli argomenti delle funzioni elementari all'interno della tua funzione soddisfino tutti contemporaneamente tutte le loro condizioni di esistenza:
quindi dovrai risolvere il sistema:
$$
\begin{cases}x>0 \\ 1-2\log^2(x) \geq 0 \\ -1 \leq \sqrt{1-2\log^2(x)} \leq 1 \end{cases}
$$
dove ovviamente l'ultima disequazione come saprai è una scrittura compatta che rappresenta due disequazioni.
Spero sia chiaro, se non lo fosse chiedi ancora
e Benvenuto nel forum!
"Bossmer":
Sono semplicemente i campi di esistenza delle singole funzione che composte danno origine alla tua funzione.
Infatti i campi di esistenza delle funzioni sono :
$t>0$ per $\log(t)$
$t>= 0$ per $\sqrt{t}$
$-1<= t <=1$ per $arcsin(t)$
Ora se i campi di esistenza delle funzioni elementari ti sono noti non devi altro che risolvere il sistema di disequazioni che ne deriva.
Cioè visto che la tua funzione è composta da queste tre funzioni elementari, allora devi imporre che gli argomenti delle funzioni elementari all'interno della tua funzione soddisfino tutti contemporaneamente tutte le loro condizioni di esistenza:
quindi dovrai risolvere il sistema:
$$
\begin{cases}x>0 \\ 1-2\log^2(x) \geq 0 \\ -1 \leq \sqrt{1-2\log^2(x)} \leq 1 \end{cases}
$$
dove ovviamente l'ultima disequazione come saprai è una scrittura compatta che rappresenta due disequazioni.
Spero sia chiaro, se non lo fosse chiedi ancora
Grazie!
Comunque quello che non mi è chiaro è la parte legata alla derivabilità della funzione.
Cioè fino ad ora in tutti gli studi di funzioni che ho svolto risultava che la funzione fosse derivabile nel suo dominio ( eccetto qualche caso con funzioni con modulo in quanto studiavo quando si annullava il modulo per trovare gli eventuali punti di non derivabilità).
Invece in questo esercizio si calcola il dominio della funzione e successivamente si determinano gli intervalli in cui la funzione è derivabile.
Una spiegazione che mi sono dato è che la funzione arcsin è continua su $[1,1]$ mentre è derivabile su $(1,1)$ quindi deve escludere gli estremi.
Per quanto riguarda la radice invece non saprei.
Ah e per quanto riguarda la funzione arcsin,$-1$ $1$ sono punti di non derivabilità ?
arcoseno e arcocoseno non sono derivabili agli estremi, infatti ricordando che nelle funzioni seno e coseno tali punti corrispondono a massimi e minimi (quindi tangenti orizzontali), nelle funzioni inverse tali punti corrispondo a tangenti verticali, cioè limiti con rapporti incrementali $\pm \infty$.
Per la radice lo puoi verificare velocemente provando a fare il limite del rapporto incrementale in zero, ottenendo che le radici non sono derivabili nell'origine (nemmeno le radici dispari).
Il logaritmo invece come ben sai è derivabile su tutto il suo dominio.
Per la radice lo puoi verificare velocemente provando a fare il limite del rapporto incrementale in zero, ottenendo che le radici non sono derivabili nell'origine (nemmeno le radici dispari).
Il logaritmo invece come ben sai è derivabile su tutto il suo dominio.
"Bossmer":
arcoseno e arcocoseno non sono derivabili agli estremi, infatti ricordando che nelle funzioni seno e coseno tali punti corrispondono a massimi e minimi (quindi tangenti orizzontali), nelle funzioni inverse tali punti corrispondo a tangenti verticali, cioè limiti con rapporti incrementali $\pm \infty$.
Per la radice lo puoi verificare velocemente provando a fare il limite del rapporto incrementale in zero, ottenendo che le radici non sono derivabili nell'origine (nemmeno le radici dispari).
Il logaritmo invece come ben sai è derivabile su tutto il suo dominio.
Quindi ricapitolando le funzioni arcsin,arccos non sono derivabili agli estremi di conseguenza,nel caso del mio es,la funzione è derivabile se è composizione di funzioni derivabili nel proprio dominio.
Mentre per la radice devo escludere quando l'argomento si annulla.
Esistono altre funzioni elementari che non sono derivabili nel proprio dominio?
in genere le funzioni elementari non sono derivabili nei punti di discontinuità della derivata prima.
Fatta chiaramente eccezione per le funzioni elementari costruite per casi (quelle definite con i sistemi, il che include i moduli) o composizione di funzioni costruite per casi, per queste funzioni dovrai probabilmente applicare la definizione di derivata nei punti di "apparente discontinuità" della derivata prima, per capire se la funzione è o meno derivabile in tal punto.
Fatta chiaramente eccezione per le funzioni elementari costruite per casi (quelle definite con i sistemi, il che include i moduli) o composizione di funzioni costruite per casi, per queste funzioni dovrai probabilmente applicare la definizione di derivata nei punti di "apparente discontinuità" della derivata prima, per capire se la funzione è o meno derivabile in tal punto.
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