Studio funzione - dominio arcoseno

[Argiro1]

Buongiorno a tutti, per un esercizio di cui mi è già fornita la soluzione (ma che non capisco) sto studiando la seguente funzione e ovviamente devo trovarne come prima cosa il dominio:
F(x)= $|arcsin ((6x)/(x^2+9))|$
Io sviluppo un sistema ponendo l'argomento dell'arcsin $>=-1$ e $<=1$ ed interseco le soluzioni con un certo risultato. Invece la soluzione dell'esercizio mi da direttamente il dominio uguale a tutto R. Come mai? Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille

[gugo82]

Perché si vede "a occhio", se lo sai fare...

Infatti, dato che $(x-3)^2>=0$ e che $x^2+9>0$ per ogni $x$, sviluppando il quadrato hai $x^2+9>=6x$ da cui segue che l'argomento di $arcsin$ è $<=1$. Analogamente, ma sfruttando $(x+3)^2>=0$, si vede che vale anche la disuguaglianza con $>=-1$.

Tuttavia, se non riesci a vedere queste cose "ad occhio" (come accade sempre agli inizi), fai i conti e non sbagli.