Studio funzione di variabile complessa 2
Salve a tutti!
Oggi volevo provare a risolvere il seguente esercizio:
"Data la funzione $f(z)=e^z/(1+z)$ determinare $Ref(z)$,$Imf(z)$ e il campo di esistenza"
Per prima cosa considero $z=x+iy$ quindi ottengo la nuova relazione
$f(x+iy)=e^(x+iy)/(1+x+iy)$
Quindi direi che f è definita per $x+iy+1!=0$, cioè per $x!=-1 ^^ y!=0$
A questo punto mi trovo già in difficoltà.
Avevo pensato di eseguire una sorta di coniugazione del denominatore, ma mi complico solo la vita (e inoltre non sono neanche tanto sicuro che i calcoli siano corretti)
$f(x+iy)=e^(x+iy)/(1+x+iy)=e^(x+iy)/(1+x+iy)(1+x-iy)/(1+x-iy)=(e^(x+iy)(1+x-iy))/((1+x)^2+y^2)$
Quindi prima di proseguire preferirei avere qualche consiglio da qualcuno più esperto di me.
Grazie a tutti!
Oggi volevo provare a risolvere il seguente esercizio:
"Data la funzione $f(z)=e^z/(1+z)$ determinare $Ref(z)$,$Imf(z)$ e il campo di esistenza"
Per prima cosa considero $z=x+iy$ quindi ottengo la nuova relazione
$f(x+iy)=e^(x+iy)/(1+x+iy)$
Quindi direi che f è definita per $x+iy+1!=0$, cioè per $x!=-1 ^^ y!=0$
A questo punto mi trovo già in difficoltà.
Avevo pensato di eseguire una sorta di coniugazione del denominatore, ma mi complico solo la vita (e inoltre non sono neanche tanto sicuro che i calcoli siano corretti)
$f(x+iy)=e^(x+iy)/(1+x+iy)=e^(x+iy)/(1+x+iy)(1+x-iy)/(1+x-iy)=(e^(x+iy)(1+x-iy))/((1+x)^2+y^2)$
Quindi prima di proseguire preferirei avere qualche consiglio da qualcuno più esperto di me.
Grazie a tutti!
Risposte
Il denominatore è reale , il numeratore non è difficile dividere tra parte reale e parte immaginaria ricordando che $e^(x+iy)=e^x(cos y+i sin y )=e^x *cos y +i e^x siny $ .
Quindi gli ultimi 2 passaggi che ho scritto sono corretti?
Quindi direi che f è definita per x+iy+1≠0, cioè per x≠−1∧y≠0
Gost, per cui anche il punto $z=-1+i7$ non fa parte dell'insieme di definizione ???
In base alla tua definizione $x≠−1∧y≠0$ hai FALSO ∧ VERO = FALSO. Per cui $z=-1+i7$ non appartiene all'insieme di definizione...
Se scrivi $z \ne -1$ non abbiamo già liquidato la questione, invece di quelle scritture un po' esotiche ?
Sisi quinzio hai pienamente ragione, con i connettori logici mi intorto sempre...
Mi sono fatto il discorso "f è definita per tutti gli elementi tali che $x!=-1$ E $y!=0$", quindi ci sono cascato come una fava...
Comunque, supposti corretti i calcoli precedenti, provo a terminare l'esercizio:
$f(x+iy)=(e^(x+iy)(1+x-iy))/((x+1)^2+y^2)=(e^(x)(cosy+isiny)(1+x-iy))/((x+1)^2+y^2)=$
$(e^xcosy+xe^xcosy-ye^xcosyi+e^xsinyi+xe^xsinyi+ye^xsiny)/((x+1)^2+y^2)$
Da cui posso ricavare che:
$Ref(z)=(e^x(cosy+xcosy+ysiny))/((x+1)^2+y^2)$
$Imf(z)=(e^x(-ycosy+siny+xsiny))/((x+1)^2+y^2)$
Mi sono fatto il discorso "f è definita per tutti gli elementi tali che $x!=-1$ E $y!=0$", quindi ci sono cascato come una fava...
Comunque, supposti corretti i calcoli precedenti, provo a terminare l'esercizio:
$f(x+iy)=(e^(x+iy)(1+x-iy))/((x+1)^2+y^2)=(e^(x)(cosy+isiny)(1+x-iy))/((x+1)^2+y^2)=$
$(e^xcosy+xe^xcosy-ye^xcosyi+e^xsinyi+xe^xsinyi+ye^xsiny)/((x+1)^2+y^2)$
Da cui posso ricavare che:
$Ref(z)=(e^x(cosy+xcosy+ysiny))/((x+1)^2+y^2)$
$Imf(z)=(e^x(-ycosy+siny+xsiny))/((x+1)^2+y^2)$
Corretto, hai visto che non era poi così impossibile ?
Sisi! 
Più che altro mi lasciava un pò perplesso il fatto che uscissero fuori tutti quei termini dopo la coniugazione del denominatore.
Comunque grazie per l'aiuto!
Più che altro mi lasciava un pò perplesso il fatto che uscissero fuori tutti quei termini dopo la coniugazione del denominatore.
Comunque grazie per l'aiuto!
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