Studio funzione di due variabili su un c
Salve,
ho un dubbio sullo studio di funzione su un compatto
la mia funzione è
[tex]f(x.y)=x^2+y^2-x-y+1[/tex] da studiare su [tex]A=\{(x,y):y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1\}[/tex]
il gradiente viene [tex]\nabla f?(2x-1, 1y-1)[/tex]
e troviamo un minimo in A(1/2.1/2=)
poi la studio sul bordo del dominio e trovo che
[tex]f(x,0)=x^2-x+1 \rightarrow f'(x)=2x-1 \rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex] abbiamo u massimo,
mentre studiandola sulla semicirconferenza, passo in coordinate polari e ho
[tex]f(\rho, \theta)= \rho^2- \rho cos \theta -\rho sin \theta +1[/tex] dove il raggio e uno e quindi la funzione si riduce a
[tex]f(1, \theta)=2+cos \theta + sin \theta[/tex]
e se derivo rispetto a [tex]\theta[/tex] trovo che
[tex]f'=sin \theta -cos \theta \rightarrow cos \theta(tan \theta -1) \geq 0[/tex]
e quindi trovo che la funzione sulla semicirconferenza ha un massimo per [tex]\theta = 0[/tex] e un minimo in [tex]\theta= \pi/4[/tex]
il ragionamento è giusto? grazie mille ....
ho un dubbio sullo studio di funzione su un compatto
la mia funzione è
[tex]f(x.y)=x^2+y^2-x-y+1[/tex] da studiare su [tex]A=\{(x,y):y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1\}[/tex]
il gradiente viene [tex]\nabla f?(2x-1, 1y-1)[/tex]
e troviamo un minimo in A(1/2.1/2=)
poi la studio sul bordo del dominio e trovo che
[tex]f(x,0)=x^2-x+1 \rightarrow f'(x)=2x-1 \rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex] abbiamo u massimo,
mentre studiandola sulla semicirconferenza, passo in coordinate polari e ho
[tex]f(\rho, \theta)= \rho^2- \rho cos \theta -\rho sin \theta +1[/tex] dove il raggio e uno e quindi la funzione si riduce a
[tex]f(1, \theta)=2+cos \theta + sin \theta[/tex]
e se derivo rispetto a [tex]\theta[/tex] trovo che
[tex]f'=sin \theta -cos \theta \rightarrow cos \theta(tan \theta -1) \geq 0[/tex]
e quindi trovo che la funzione sulla semicirconferenza ha un massimo per [tex]\theta = 0[/tex] e un minimo in [tex]\theta= \pi/4[/tex]
il ragionamento è giusto? grazie mille ....
Risposte
si il ragionamento è corretto..però perchè sei passato da $rho^2-rho(cos(theta)-rho(sin(theta))+1 $ a $2+cos(theta)+sen(theta)$ i segni mi risultano sbagliati, comunque il punto che trovi con $theta=0$ lo consideri perchè è il punto di intersezione. in questo caso potevi anche usare lagrange,(i calcolo sono facili) inoltre potevi anche far camminare direttamente la tua funzione sul vincolo sul vincolo.
non capisco perchè ti si cambino i segni, dato che [tex]\rho=1[/tex] e quando lo vado a sostituire i segni si dovrebbero conservare.
Grazie mille!!
P.S.: so che con i vincoli di Lagrange ssarebbe stato più semplice, ma non li abbiamo fatti a lezione ...
Grazie mille!!
P.S.: so che con i vincoli di Lagrange ssarebbe stato più semplice, ma non li abbiamo fatti a lezione ...
si i segni si conservano infatti, comunque non avevi nemmeno bisogno di andare a verificare se il punto stazionario della funzione era di minimo o massimo( avrai fatto tutto ciò con l'hessiana) questo non conviene, perché non richiesto. quando trovi tutti i punti candidati, sostiuisci nella funzione e automaticamente trovi massimi e minimi;
verificare subito se si tratti di un massimo o minimo ti porta via solo tempo, e a volte valutare l'hessiana costa troppo in termini di tempo e fatica
P.S. per essere più chiari e precisi. il punto $theta=0$ non lo ricavi da $sentheta=costheta$ ma come detto prima dal'lintersezione con l'asse delle ascisse
verificare subito se si tratti di un massimo o minimo ti porta via solo tempo, e a volte valutare l'hessiana costa troppo in termini di tempo e fatica
P.S. per essere più chiari e precisi. il punto $theta=0$ non lo ricavi da $sentheta=costheta$ ma come detto prima dal'lintersezione con l'asse delle ascisse
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