Studio funzione di classe C infinito

[guidocastiello00]

Salve, ho determinato che la funzione che è così definita $f(x) := \{(e^(-1/x^2), ", se " x !=0),(0, ", se " x = 0) :}$ è di classe $C^infty (RR)$ però ho dei dubbi su un passaggio, chiedo quindi se qualcuno potrebbe riportarmi la "dimostrazione rigorosa" per arrivare al risultato. Grazie in anticipo!

[gugo82]

A parte che i casi sono invertiti, prova a fare i conti per stabilire chi è la derivata prima in $RR$.
Fatto ciò, fai lo stesso con le derivate seconda e terza.
Poi generalizza per induzione.

[guidocastiello00]

ho scritto velocemente e ho commesso l'errore,comunque non sapevo come poter generalizzare,avevo già calcolato le derivate con il rapporto incrementale,grazie lo stesso!

[Cantor99]

Forse si potrebbe generalizzare così la forma della $k$ -sima derivata

\[
f^{(k)}(x)=\begin{cases}
\frac{P(x)}{x^{3k}}e^{-\frac{1}{x^{2}}}, & x\ne0 \\ 0, & x=0
\end{cases}
\]
dove $P$ è un polinomio tale che $P(0)\ne0$ (non so se il grado è ricavabile in qualche modo)

[guidocastiello00]

penso che anche così sia corretto