Studio funzione di 2 variabili

[virb1]

Ciao a tutti, spero possiate aiutarmi con questa funzione:

$f(x,y)= (x-y)*sqrt(|y-x^2|)$

1- determinare l'insieme di definizione
2- la funzione è continua in (2,4) e in (3,3)?
3- la funzione è derivabile in (10,6/7) e in (1,1)?
4- cercare i punti di max e min. In particolare (1,1) è un punto di max relativo?

allora
1- l'insieme di definizione non è tutto R?
2- per studiare la continuità di una funzione con più variabili devo studiare i limiti? se si quali di preciso? oppure posso semplicemente dire che la funzione è continua perchè formata da funzioni elementari continue?
3- per studiare la derivabilità devo vedere il rapporto incrementale giusto? tipo per il punto (1,1):
prima calcolo il rapporto incrementale per x : $lim_(h->0)(f(1+h,1)-f(1,1))/h$ dovrebbe portare 0
poi quello per y : $lim_(h->0)(f(1,1+h)-f(1,1))/h$ e anche questo dovrebbe portare 0
quindi esiste il rapporto incrementale per x e per y quindi la funzione è derivabile in (1,1)
4- per i punti di max e min invece non devo travare il gradiente della funzione? se è così sono nel pallone perchè non riesco a fare la derivata della funzione, il modulo mi blocca

qualcuno può darmi una mano??

[ciampax]

1) sì, è tutto [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] (non solo la retta reale, la funzione è di due variabili!)
2) puoi tranquillamente dire che è continua perché prodotto di funzioni continue;
3) nel primo punto è sicuramente derivabile perché lo sono le due funzioni che la definiscono. Per quanto riguarda il punto [tex]$(1,1)$[/tex] i rapporti incrementali sono

[tex]$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(1+h,1)-f(1,1)}{h}=\frac{h\sqrt{|-2h-h^2|}}{h}=\sqrt{|h|}\sqrt{|2+h|}$[/tex]

[tex]$\frac{\Delta f}{\Delta y}=\frac{f(1,1+h)-f(1,1)}{h}=\frac{-h\sqrt{|h|}}{h}=-\sqrt{|h|}$[/tex]

e i limiti di queste due funzioni, per [tex]$h\to 0^{\pm}$[/tex] risultano entrambi pari a zero. Per cui la funzione è derivabile.

4) Per calcolare il gradiente, usa il fatto che puoi decomporre la funzione al modo seguente

[tex]$f(x,y)=\left\{\begin{array}{lcl}
(x-y)\sqrt{y-x^2} & & y\ge x^2\\ & & \\ (x-y)\sqrt{x^2-y} & & y \end{array}\right.$[/tex]

e analizza cosa accade, separatamente, sui due insiemi [tex]$\{(x,y)\ :\ y\ge x^2\},\ \{(x,y)\ :\ y

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[virb1]

grazie mille ciampax ...posso approfittare ancora di te?

non mi è chiara la spigazione che mi hai dato per il punto 3) : che significa che nel punto (10,6/7) la funzione "è sicuramente derivabile perché lo sono le due funzioni che la definiscono" ? io sinceramante ho provato a fare il rapporto incrementale come per il punto (1,1) ma viene fuori un conto assurdo

per il punto 4) invece sto andando in crisi ad esempio se prendo in considerazione il primo insieme quindi la funzione $f(x,y)=(x-y)sqrt(y-x^2)$ facendo il gradiente viene:

$f(x,y)=\{(1sqrt(y-x^2)-(x-y)/(2sqrt(y-x^2))=0),(-1sqrt(y-x^2)-(x-y)/(2sqrt(y-x^2))=0):}$

non mi sembra ci siano punti in cui le derivate si annullino o sbaglio? se è così la funzione non ha punti interni di max o min poi la stessa cosa dovrebbe essere per l'altro insieme...i conti sono troppo complessi e lunghi, di solito il nostro professore tende a trovare scorciatoie per non fare questi conti quindi probabilmente c'è una motivazione più immediata...poi per quello che riguarda il punto (1,1) è un punto di max? puoi chiarirmi meglio la cosa? grazie

[ciampax]

Per il punto tre, osserva questo fatto: a) un polinomio è sempre derivabile dappertutto, b) la radice di una funzione è derivabile in ogni punto in cui è definita tranne quelli che annullano l'argomento (ci arrivi ragionando su dove è derivabile la funzione [tex]$g(t)=\sqrt{t}$[/tex]). Dal momento che la funzione da te proposta nel punto [tex]$(10, 6/7)$[/tex] è ben definita e l'argomento della radice non si annulla, essa risulta derivabile. Se calcoli il rapporto incrementale ti suicidi!

Per il punto quattro, le derivate della prima funzione sono le seguenti (corrette)

[tex]$f_x=\sqrt{y-x^2}-\frac{x(x-y)}{\sqrt{y-x^2}}=\frac{y-x^2-x^2+xy}{\sqrt{y-x^2}}=\frac{y+xy-2x^2}{\sqrt{y-x^2}}$[/tex]
[tex]$f_y=-\sqrt{y-x^2}+\frac{x-y}{2\sqrt{y-x^2}}=\frac{-2y+2x^2+x-y}{2\sqrt{y-x^2}}=\frac{2x^2+x-3y}{2\sqrt{y-x^2}}$[/tex]

per cui il gradiente si annulla solo quando

[tex]$y+xy-2x^2=0,\qquad 2x^2+x-3y=0$[/tex] con la condizione [tex]$y\ne x^2$[/tex] (altrimenti si annulla il denominatore).

Ricavando [tex]$y=\frac{2x^2+x}{3}$[/tex] dalla seconda e sostituendo dalla prima si ottiene, dopo un po' di semplificazioni

[tex]$2x^2+x+2x^3+x^2-6x^2=0\ \Rightarrow\ 2x^3-3x^2+x=0\ \Rightarrow\ x(2x^2-3x+1)=0$[/tex]

le cui soluzioni sono [tex]$x=0,\ x=1/2,\ x=1$[/tex] da cui gli eventuali punti stazionari [tex]$A(0,0),\ B(1/2, 1/3),\ C(1,1)$[/tex]. Ricorda però che per tale funzione abbiamo posto [tex]$y> x^2$[/tex] per cui i punti $A$ e $C$ vanno eclusi. A questo punto puoi calcolare l'hessiana e vedere cosa accade nel punto $B$.

Fatto questo, dovrai ripetere lo stesso procedimento per l'altra funzione, stando attento che i punti soddisfino la condizione [tex]$y
Per quanto riguarda il punto $(1,1)$ io direi che puoi ragionare in questo modo: la generica retta passante per esso ha equazione [tex]$y-1=m(x-1)$[/tex] o anche [tex]$y=mx+1-m$[/tex]. Sostituendo tale valore di $y$ nella funzione data si ha

[tex]$F(x)=f(x,mx+1-m)=(x-mx-1+m)\sqrt{|mx+1-m-x^2|}=(1-m)(x-1)\sqrt{|x-1|\cdot|1-m|}$[/tex]

Ora, affinché il punto da te studiato risulti di massimo o di minimo, deve accadere che per [tex]$x\in(1-\epsilon,1+\epsilon)$[/tex] si abbia, rispettivamente [tex]$F(x)\le F(1)=0$[/tex] oppure [tex]$F(x)\ge F(1)=0$[/tex], indipendentemente dalla scelta di [tex]$m\in\mathbb{R}$[/tex]. Tuttavia è facile vedere che, al variare di tale parametro, la funzione [tex]$F(x)$[/tex] risulta alternativamente positiva o negativa, per cui non accadrà mai che essa possa essere sempre positiva o sempre negativa e quindi il punto non risulta nè massimo nè minimo.

[virb1]

grazie ciampax, sei gentilissimo

comunque ho calcolato l'hessiana sperando di non aver commesso errori questa volta

$((((y-4x)/(sqrt(y-x^2))+(x(y+xy-2x^2))/(sqrt(y-x^2)^3))((1+x)/(sqrt(y-x^2))-(y+xy-2x^2)/(2sqrt(y-x^2)^3))),(((4x+1)/(2sqrt(y-x^2))+(x(2x^2+x-3y))/(2sqrt(y-x^2)^3))((-3)/(2sqrt(y-x^2))+(2x^2+x-3y)/(4sqrt(y-x^2)^3))))$

(tra le parentesi sono racchiuse le varie derivate non è che le voglio moltiplicare eh)

se tutto ciò è giusto sostituendo all'hessiana le coordinate del punto $(1/2,1/3)$ avrò:

$((((-5/3)/(sqrt(1/12)))((3/2)/(sqrt(1/12)))),(((3)/(2sqrt(1/12)))((-3)/(2sqrt(1/12)))))$

a questo punto devo fare qualche calcolo sulla matrice o posso già dire che considerando la diagonale la matrice è definita negativa quindi il punto $(1/2,1/3)$ è di max?

[ciampax]

Ma perché non calcoli il determinante?

[virb1]

Sinceramnte non ce l'hanno mai fatto calcolare comunque il determinante di un matrice quadrata di ordine 2 è uguale alla differenza dei prodotti dei coefficienti della diagonale principale e di quelli sull’altra diagonale giusto?
Ma lo devo calcolare per la matrice hessiana? o per quella con le coordinate del punto? scusa l'ignoranza ma non conosco questo procedimento

[ciampax]

Scusa virb, per curiosità: mi illustri il procedimento che conosci per calcolare massimi e minimi liberi di una funzione di due variabili? In generale.

[virb1]

in parole povere:
-calcolo il gradiente della funzione
-eguaglio le derivate del gradiente a zero trovando gli eventuali punti stazionari
-calcolo la matrice hessiana
-sostituisco alla matrice hessiana le coordinate dei punti stazionari trovati
-dalla matrice che scaturisce dovrei riuscire a capire se il punto è di max o min o di sella, guardando la diagonale della matrice dovrei capire se la matrice è definita positiva, definita negativa, semidef. positiva, semidef. negativa, non definita
E' ub procedimento sbagliato?

[ciampax]

Fino al sostituire i valori nella matrice hessiana va tutto bene. Vorrei capire come riesci a dedurre la definitezza della matrice hessiana, però!

[virb1]

ti faccio un esempio perchè a parole non riesco:

$f(x,y)=2x^3+3xy^2-6x$

gradiente:

$\gradf(x,y)\{(6x^2+3y^2-6=0),(6xy=0):}$

trovo i punti stazionari: $A(1,0)$ e $B(-1,0)$

matrice hessiana:

$(((12x)(6y)),((6y)(6x)))$

sostisuisco il punto $A(1,0)$ viene fuori questa matrice:

$(((12)(0)),((0)(6)))$

a questo punto guardo la diagonale della matrice e siccome è formata da elementi positivi la matrice è definita positiva quindi il punto $A(1,0)$ è di min

sostituisco il punto $B(-1,0)$ e ottengo la matrice:

$(((-12)(0)),((0)(-6)))$

in questo caso invece la matrice è definita negativa per cui il punto $B(-1,0)$ è di max

io conosco questo modo, se no come dovrei fare?

[ciampax]

E se invece hai la matrice

[tex]\left(\begin{array}{cc}
-5 & -4\\ 4 & 5
\end{array}\right)$[/tex]

come fai a determinarne la definitezza?

[virb1]

in quel caso la matrice non è definita quindi in teoria il punto da cui deriva non è nè di max nè di min, però non so se nell'esempio che hai fatto tu bisogna "manipolare" la matrice, renderla ad esempio triangolare oppure no

[squall1]

quella matrice è indefinita e rappresenta un punto di sella.
non ho le conoscenze adatte per spiegarti rigorosamente il metodo usato da virb(sono un ignaro studente anche io) ma comunque riguarda gli autovalori della matrice.

in quel caso da te postato gli autovalori risulterebbero uno positivo e uno negativo quindi l'hessiana è indefinita e,come ho scritto sopra, ad una matrice indefinita si associa il punto di sella.

è un altro metodo per classificare i punti critici, è più comodo quando hai funzioni a più di due variabili e quindi la matrice di hess è 3*3.
in questo caso determinare il tipo di punto critico risulta più diretto con il metodo degli autovalori.

[ciampax]

"squall":quella matrice è indefinita e rappresenta un punto di sella.
non ho le conoscenze adatte per spiegarti rigorosamente il metodo usato da virb(sono un ignaro studente anche io) ma comunque riguarda gli autovalori della matrice.

in quel caso da te postato gli autovalori risulterebbero uno positivo e uno negativo quindi l'hessiana è indefinita e,come ho scritto sopra, ad una matrice indefinita si associa il punto di sella.

è un altro metodo per classificare i punti critici, è più comodo quando hai funzioni a più di due variabili e quindi la matrice di hess è 3*3.
in questo caso determinare il tipo di punto critico risulta più diretto con il metodo degli autovalori.

Squall, io la risposta la conosco. Voglio capire che metodo usa virb per determinare cosa accade in un caso del genere. Fino a che le matrici sono diagonali e/o triangolari, mi va bene che ci si arrivi in un attimo. Ma nei casi generali virb? Come hai fatto a dedurre che è indefinita? Vorrei capire se conosci un metodo per classificare le matrici in questo senso, altrimenti non so se posso enunciarti il metodo standard che si usa per discutere il carattere dei punti stazionari di una funzione di due variabili

[virb1]

io non ho un metodo, guardo semplicemente gli elementi della diagonale...ad esempio la matrice che mi hai proposto tu per me è indefinita perchè ha un elemento negativo (-5) e uno positivo (5) sulla diagonale, però non so magari sbaglio....se non si fa così come si vede se un punto è di max o min?
ad esempio nella matrice che mi hai fatto come esempio, come si dovrebbe procedere?