Studio funzione con arctg
Ragazzi quando trovo funzioni con arctg e derivati non so proprio da dove cominciare!!.. Qualcuno, per favore, potrebbe guidarmi passo passo nello studio di questa funzione? Ve ne sarò grato..
Risposte
Non so se potrò seguirti passo-passo nello studio completo della funzione, però intanto comincio.
Innanzitutto, se, come dici, non sai proprio da che parte prendere la funzione comincia con il toglierti dai piedi il valore assoluto, che è sempre un fastidio in piú.
Studiando l'argomento del valore assoluto risulta
$x-1>=0 -> x>=1$
e quindi la tua funzione diventa:
$f(x)={(arctg((-x+1-1)/x) \quad x<1),(arctg((x-1-1)/x)\quad x>=1):}$
ovvero
$f(x)={(arctg(-1) \quad x<1),(arctg((x-2)/x)\quad x>=1):}$
Quindi per $x<1$ la tua funzione è costante e vale...
Il suo grafico è perciò...
Per $x>=1$ invece rimane una funzione da studiare con i soliti strumenti.
Il primo punto da controllare è il DOMINIO, ovvero i valori reali di $x$ ammissibili per la funzione: qual'è il dominio della funzione $arctgx$ ? L'argomento della tua funzione attuale presenta dei problemi a livello di dominio ?
Dopodiché si passa a studiare il SEGNO: come varia il segno della funzione $arctgx$ ?
Intanto per cominciare è già qualcosa...
Innanzitutto, se, come dici, non sai proprio da che parte prendere la funzione comincia con il toglierti dai piedi il valore assoluto, che è sempre un fastidio in piú.
Studiando l'argomento del valore assoluto risulta
$x-1>=0 -> x>=1$
e quindi la tua funzione diventa:
$f(x)={(arctg((-x+1-1)/x) \quad x<1),(arctg((x-1-1)/x)\quad x>=1):}$
ovvero
$f(x)={(arctg(-1) \quad x<1),(arctg((x-2)/x)\quad x>=1):}$
Quindi per $x<1$ la tua funzione è costante e vale...
Il suo grafico è perciò...
Per $x>=1$ invece rimane una funzione da studiare con i soliti strumenti.
Il primo punto da controllare è il DOMINIO, ovvero i valori reali di $x$ ammissibili per la funzione: qual'è il dominio della funzione $arctgx$ ? L'argomento della tua funzione attuale presenta dei problemi a livello di dominio ?
Dopodiché si passa a studiare il SEGNO: come varia il segno della funzione $arctgx$ ?
Intanto per cominciare è già qualcosa...
Ottimo davvero!!
Allora adesso bisogna vedere per quali x questa funzione ammette soluzioni..
arctg : R ----> ]-TT/2 , TT/2[
e anche per x diverso da 0 giusto?
Quindi il campo di esistenza di questa funzione qualse sarà di preciso?
Allora adesso bisogna vedere per quali x questa funzione ammette soluzioni..
arctg : R ----> ]-TT/2 , TT/2[
e anche per x diverso da 0 giusto?
Quindi il campo di esistenza di questa funzione qualse sarà di preciso?
Come hai giustamente indicato, l'arcotangente è definita su tutto $RR$, ma l'argomento della tua funzione è definito solo per $x ne 0$.
Tuttavia, l'espressione analitica contenente l'arcotangente vale, nel caso della tua funzione, solo per $x >= 1$, di conseguenza la limitazione $x ne 0$ è automaticamente soddisfatta, perciò il dominio della tua funzione è tutto $RR$.
E per $x<1$ qual'è il grafico della funzione ?
P.S.: un consiglio: meglio che cominci ad editare le formule in mathml cosí poi con i limiti e le derivate ti troverai meglio
Tuttavia, l'espressione analitica contenente l'arcotangente vale, nel caso della tua funzione, solo per $x >= 1$, di conseguenza la limitazione $x ne 0$ è automaticamente soddisfatta, perciò il dominio della tua funzione è tutto $RR$.
E per $x<1$ qual'è il grafico della funzione ?
P.S.: un consiglio: meglio che cominci ad editare le formule in mathml cosí poi con i limiti e le derivate ti troverai meglio
Se vale solo per $x >= 1$ allora per $x < 1$ non dovrebbe essere definita o mi sbaglio?
Se è così dovrei studiare soltanto il caso per $x >= 1$ ...
Ma per $x < 1$ non abbiamo detto che è costante? E' -TT/2?
Già sto iniziando a perdere i sensi...
Se è così dovrei studiare soltanto il caso per $x >= 1$ ...
Ma per $x < 1$ non abbiamo detto che è costante? E' -TT/2?
Già sto iniziando a perdere i sensi...
L'espressione analitica contenente la $x$ vale solo per $x >= 1$ mentre per $x<1$ la funzione è costante (e non vale $-pi/2$...).
Quello che intendevo dire è che per $x>=1$ l'espressione
$y=arctg((x-2)/x)$
esiste sempre, perciò la funzione $f(x)$ esiste su tutto l'asse reale. Lo studio va condotto quindi su tutto l'asse reale, con la semplificazione (notevole) che per $x<1$ la funzione è costante e quindi il suo grafico è rappresentato da...
P.S.: su, su, non perdere i sensi per cosí poco, sei appena all'inizio della salita...che non è poi cosí terribile, vedrai
Quello che intendevo dire è che per $x>=1$ l'espressione
$y=arctg((x-2)/x)$
esiste sempre, perciò la funzione $f(x)$ esiste su tutto l'asse reale. Lo studio va condotto quindi su tutto l'asse reale, con la semplificazione (notevole) che per $x<1$ la funzione è costante e quindi il suo grafico è rappresentato da...
P.S.: su, su, non perdere i sensi per cosí poco, sei appena all'inizio della salita...che non è poi cosí terribile, vedrai
Ah, aspetta... per $x < 1$ è costante e il risultato è dato dall'arctg(-1) ?
Ragazzi aiutatemi a risolverlo... ve lo chiedo per favore..
Qua ci sono persone fuori dal normale, sono dei geni!!...
Qua ci sono persone fuori dal normale, sono dei geni!!...
In attesa che i geni si facciano sentire, riprendo io per ora la discussione...
È esatto: per $x<1$ la funzione è costante e vale $arctg(-1)$ che è uguale a...
È esatto: per $x<1$ la funzione è costante e vale $arctg(-1)$ che è uguale a...
Forse ci sono arrivato!!... $arctg(-1)$ vale TT/4... Se ho detto bene faccio una festa.. 
Rimanda la festa...
Qual'è l'angolo la cui tangente vale $-pi/4$?
Qual'è l'angolo la cui tangente vale $-pi/4$?
Allora $arctg(-1)$ è l'arco la cui tangente vale -1... Quindi il risultato è -TT/4
E adesso festa!!!
Quindi il grafico per $x<1$ è...
Per $x>=1$ ora si dovrebbe procedere a studiare il segno...
Quindi il grafico per $x<1$ è...
Per $x>=1$ ora si dovrebbe procedere a studiare il segno...
Bene 
Quindi per $x < 1$ la funzione è costante è vale -TT/4
Adesso bisogna studiare il segno della funzione per $x >= 1$ cioè
$arctg((x-2)/x)$
Allora, sperando di non sbagliare, si ha che la funzione è negativa per $0 < x < 2$ e positiva per $x > 2$ e $x < 0$
Quindi per $x < 1$ la funzione è costante è vale -TT/4
Adesso bisogna studiare il segno della funzione per $x >= 1$ cioè
$arctg((x-2)/x)$
Allora, sperando di non sbagliare, si ha che la funzione è negativa per $0 < x < 2$ e positiva per $x > 2$ e $x < 0$
Il tuo svolgimento sarebbe corretto se non fosse che quell'espressione analitica vale nell'ipotesi $x>=1$. Quindi la funzione è negativa per $1<=x<2$ e positiva per $x>2$.
Tenendo conto anche del fatto che per $x<1$ risulta $f(x)=-pi/4<0$ si ha
$f(x)<0$ per $x<2$
$f(x)>0$ per $x>2$
È utile calcolare anche le INTERSEZIONI CON GLI ASSI, dopodiché si può passare al calcolo dei LIMITI per la verifica della continuità e la ricerca degli asintoti (verticali, orizzontali e obliqui).
Tenendo conto anche del fatto che per $x<1$ risulta $f(x)=-pi/4<0$ si ha
$f(x)<0$ per $x<2$
$f(x)>0$ per $x>2$
È utile calcolare anche le INTERSEZIONI CON GLI ASSI, dopodiché si può passare al calcolo dei LIMITI per la verifica della continuità e la ricerca degli asintoti (verticali, orizzontali e obliqui).
Bene... Fino a qui ci siamo e ti ringrazio davvero tanto..
Adesso bisogna fare il
lim (x->+inf) di arctg(x-2/x) che dovrebbe risultare, se non erro, TT/4.
Quindi y = TT/4 è un asintoto orizzontale.
Dopo di che devo fare il lim per x-->2 ? Quali sono tutti i limiti che devo calcolare di preciso?
Adesso bisogna fare il
lim (x->+inf) di arctg(x-2/x) che dovrebbe risultare, se non erro, TT/4.
Quindi y = TT/4 è un asintoto orizzontale.
Dopo di che devo fare il lim per x-->2 ? Quali sono tutti i limiti che devo calcolare di preciso?
"andre85":
Bene... Fino a qui ci siamo e ti ringrazio davvero tanto..
Di niente
"andre85":
Adesso bisogna fare il
lim (x->+inf) di arctg(x-2/x) che dovrebbe risultare, se non erro, TT/4.
Quindi y = TT/4 è un asintoto orizzontale.
Esatto!
"andre85":
Dopo di che devo fare il lim per x-->2 ? Quali sono tutti i limiti che devo calcolare di preciso?
I limiti vanno calcolati:
- a $+oo$ e $-oo$ se la funzione lo consente per ricercare gli asintoti orizzontali e obliqui;
- nei punti esclusi dal dominio per la ricerca degli asintoti verticali;
- nei punti compresi nel dominio ma dove potrebbe esserci una discontinuità.
Nel tuo caso il limite per $x->2$ non è utile (non rientra in nessuno dei casi precedenti), mentre sarebbe piú utile verificare la continuità in $x=1$.
È utile calcolare anche le intersezioni con gli assi cartesiani prima dei passare ai limiti...
Per $x = 1$ si ha che il lim (x-->1)f(x) = f(1) = -TT/4
Quindi possiamo dire che è continua giusto?
Quindi possiamo dire che è continua giusto?
Giusto.
Dopo aver trovato le intersezioni con gli assi si può passare al calcolo della derivata prima per la ricerca di minimi e massimi, dal momento che asintoti verticali non ce ne sono.
Dopo aver trovato le intersezioni con gli assi si può passare al calcolo della derivata prima per la ricerca di minimi e massimi, dal momento che asintoti verticali non ce ne sono.
$y=arctg((x-2)/x)$ ponendo $x = 0$ risulta $y = -pi/2$
Quando invece si pone $y = 0$ come risolvo l'equazione $arctg((x-2)/x) = 0$ nella variabile $x$ ?
Quando invece si pone $y = 0$ come risolvo l'equazione $arctg((x-2)/x) = 0$ nella variabile $x$ ?
"andre85":
$y=arctg((x-2)/x)$ ponendo $x = 0$ risulta $y = -pi/2$
Due considerazioni:
- questa espressione analitica vale per $x>=1$, quindi è sbagliato sostituire al suo interno $x=0$;
- in ogni caso l'espressione non è definita per $x=0$ dal momento che per tale valore il denominatore si annulla;
"andre85":
Quando invece si pone $y = 0$ come risolvo l'equazione $arctg((x-2)/x) = 0$ nella variabile $x$ ?
L'equazione è soddisfatta da tutti quei valori di $x>=1$ tali che $(x-2)/x = 0$ (perché?).
Inoltre c'è anche un'altra intersezione con l'asse $y$...dove?
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