Studio funzione con arctg
Ragazzi quando trovo funzioni con arctg e derivati non so proprio da dove cominciare!!.. Qualcuno, per favore, potrebbe guidarmi passo passo nello studio di questa funzione? Ve ne sarò grato..
Risposte
"Cozza Taddeo":
[quote="andre85"]$y=arctg((x-2)/x)$ ponendo $x = 0$ risulta $y = -pi/2$
Due considerazioni:
- questa espressione analitica vale per $x>=1$, quindi è sbagliato sostituire al suo interno $x=0$;
- in ogni caso l'espressione non è definita per $x=0$ dal momento che per tale valore il denominatore si annulla;
"andre85":
Quando invece si pone $y = 0$ come risolvo l'equazione $arctg((x-2)/x) = 0$ nella variabile $x$ ?
L'equazione è soddisfatta da tutti quei valori di $x>=1$ tali che $(x-2)/x = 0$ (perché?).
Inoltre c'è anche un'altra intersezione con l'asse $y$...dove?[/quote]Sono andato in tilt...
Di solito, il prof, non ci fa mai calcolare l'intersezione con gli assi..
Quali calcoli devo eseguire di preciso? Devo sostituire $x = 1$ nell'esperessione analitica $y=arctg((x-2)/x)$ ?
Le intersezioni con gli assi si ottengono risolvendo i due sistemi:
intersezione con asse x: ${(y=f(x)),(y=0):}$
intersezione con asse y: ${(y=f(x)),(x=0):}$
Nel tuo caso si ha:
Intersezione con asse x:
a) $x<1$
${(y=-pi/4),(y=0):}$ banalmente questo sistema non ha nessuna soluzione, perciò non ci sono intersezioni con l'asse x per $x<1$
b) $x>=1$
${(y=arctg((x-2)/x)),(y=0):} \quad\quad -> \quad\quad arctg((x-2)/x) = 0$
e la funzione arcotangente è uguale a $0$ solo quando il suo argomento è $0$ perciò si ha
$(x-2)/x = 0 \quad\quad -> \quad\quad x=2$
In conclusione la funzione interseca l'asse x nell'unico punto $A(2,0)$.
Intersezione con asse y:
${(y=-pi/4),(x=0):}$
qui non ci sono dubbi, l'espressione di $f(x)$ da utilizzare è quella valida per $x<1$ dal momento che nel sistema compare l'equazione $x=0$ che indica per $x$ proprio un valore minore di 1.
Si ottiene come risultato immediato un solo punto di intersezione con l'asse y: $B(0,-pi/4)$.
I punti di intersezione con gli assi coordinati sono una utile informazione di contorno per tracciare il grafico della funzione. Dal momento che la loro ricerca in genere risulta non molto impegnativa, secondo me val la pena di attuarla.
Ed ora (rullo di tamburi)...avanti con la derivata prima!
intersezione con asse x: ${(y=f(x)),(y=0):}$
intersezione con asse y: ${(y=f(x)),(x=0):}$
Nel tuo caso si ha:
Intersezione con asse x:
a) $x<1$
${(y=-pi/4),(y=0):}$ banalmente questo sistema non ha nessuna soluzione, perciò non ci sono intersezioni con l'asse x per $x<1$
b) $x>=1$
${(y=arctg((x-2)/x)),(y=0):} \quad\quad -> \quad\quad arctg((x-2)/x) = 0$
e la funzione arcotangente è uguale a $0$ solo quando il suo argomento è $0$ perciò si ha
$(x-2)/x = 0 \quad\quad -> \quad\quad x=2$
In conclusione la funzione interseca l'asse x nell'unico punto $A(2,0)$.
Intersezione con asse y:
${(y=-pi/4),(x=0):}$
qui non ci sono dubbi, l'espressione di $f(x)$ da utilizzare è quella valida per $x<1$ dal momento che nel sistema compare l'equazione $x=0$ che indica per $x$ proprio un valore minore di 1.
Si ottiene come risultato immediato un solo punto di intersezione con l'asse y: $B(0,-pi/4)$.
I punti di intersezione con gli assi coordinati sono una utile informazione di contorno per tracciare il grafico della funzione. Dal momento che la loro ricerca in genere risulta non molto impegnativa, secondo me val la pena di attuarla.
Ed ora (rullo di tamburi)...avanti con la derivata prima!
Davvero un grande... 
Adesso devo fare la derivata prima per $x < 1$ e per $x >= 1$ oppure della funzione iniziale?
Ora qua viene il bello..
Adesso devo fare la derivata prima per $x < 1$ e per $x >= 1$ oppure della funzione iniziale?
Ora qua viene il bello..
"andre85":
Adesso devo fare la derivata prima per $x < 1$ e per $x >= 1$ oppure della funzione iniziale?
Fare la derivata prima per $x<1$ e $x>=1$ è equivalente a fare la derivata della funzione iniziale ovvero è a tutti gli effetti la derivata della funzione iniziale.
La derivata prima della funzione iniziale viene:
1/1+[(|x-1|-1)/x)]^2
Giusto?
1/1+[(|x-1|-1)/x)]^2
Giusto?
Sbagliato: non hai applicato correttamente la regola di derivazione delle funzioni composte.
Poiché inoltre all'interno dell'argomento dell'arcotangente è presente un modulo è molto piú semplice se esegui la derivata dei due distinti "pezzi" di funzione, dove non compare il modulo.
La regola di derivazione di una funzione composta dice che
$y=f[g(x)] \quad\quad -> \quad\quad y'=f'[g(x)]*g'(x)$
Nel tuo caso per $x>=1$ hai una funzione composta da $f(x)=arctgx$ e $g(x)=(x-2)/x$ quindi la derivata complessiva è...(vedi qualche esempio nel tuo libro di testo, va bene anche uno delle superiori).
Per $x<1$ la derivata è invece assolutamente banale...
Poiché inoltre all'interno dell'argomento dell'arcotangente è presente un modulo è molto piú semplice se esegui la derivata dei due distinti "pezzi" di funzione, dove non compare il modulo.
La regola di derivazione di una funzione composta dice che
$y=f[g(x)] \quad\quad -> \quad\quad y'=f'[g(x)]*g'(x)$
Nel tuo caso per $x>=1$ hai una funzione composta da $f(x)=arctgx$ e $g(x)=(x-2)/x$ quindi la derivata complessiva è...(vedi qualche esempio nel tuo libro di testo, va bene anche uno delle superiori).
Per $x<1$ la derivata è invece assolutamente banale...
Applicando la formula la derivata prima risulta:
$2/{x^2 * [((x-2)/x)^2 + 1]}$
posso effettuare qualche altro passaggio? Se si quale?
Per $x < 1$ abbiamo detto che la funzione è costante quindi la derivata e nulla..
$2/{x^2 * [((x-2)/x)^2 + 1]}$
posso effettuare qualche altro passaggio? Se si quale?
Per $x < 1$ abbiamo detto che la funzione è costante quindi la derivata e nulla..
Già meglio.
La frazione può essere sistemata un po' meglio svolgendo i calcoli (quadrato, moltiplicazione, somma) e portandola nella forma con un'unica linea di frazione (adesso abbiamo una frazione che ha per denominatore una frazione).
Fatto questo, si deve valutare se il dominio della derivata coincide con quello della funzione. In particolare, per $x=1$ la funzione è derivabile?
Dopodiché si passa allo studio del segno della derivata prima (e questa è la parte piú facile nel tuo caso).
La frazione può essere sistemata un po' meglio svolgendo i calcoli (quadrato, moltiplicazione, somma) e portandola nella forma con un'unica linea di frazione (adesso abbiamo una frazione che ha per denominatore una frazione).
Fatto questo, si deve valutare se il dominio della derivata coincide con quello della funzione. In particolare, per $x=1$ la funzione è derivabile?
Dopodiché si passa allo studio del segno della derivata prima (e questa è la parte piú facile nel tuo caso).
Mi risulta, se non erro, $2/(x^2-4x+5)
per $x = 1$ si ha che $lim(x->1) f(x) = f(1)$ la funzione è continua ma potrebbe anche non essere derivabile.
All'inizio avevamo visto che per $x < 1$ la funzione era costante e assumeva valore $-pi/4$, per $x = 1$ assumeva anche valore $-pi/4$.. In questo caso non è sempre costante e quindi la derivata è nulla?
per $x = 1$ si ha che $lim(x->1) f(x) = f(1)$ la funzione è continua ma potrebbe anche non essere derivabile.
All'inizio avevamo visto che per $x < 1$ la funzione era costante e assumeva valore $-pi/4$, per $x = 1$ assumeva anche valore $-pi/4$.. In questo caso non è sempre costante e quindi la derivata è nulla?
"andre85":
Mi risulta, se non erro, $2/(x^2-4x+5)
Erri: controlla meglio i calcoli.
"andre85":
per $x = 1$ si ha che $lim(x->1) f(x) = f(1)$ la funzione è continua ma potrebbe anche non essere derivabile.
Esatto
"andre85":
All'inizio avevamo visto che per $x < 1$ la funzione era costante e assumeva valore $-pi/4$, per $x = 1$ assumeva anche valore $-pi/4$.. In questo caso non è sempre costante e quindi la derivata è nulla?
È nulla per $x<1$ ma per $x=1$ è tutto da vedere...
Ah già, ho sbagliato...
Dovrebbe venire:
$2/(2x^2-4x+4) = 1/(x^2-2x+2)$
Dovrebbe venire:
$2/(2x^2-4x+4) = 1/(x^2-2x+2)$
Esatto!
Ora puoi considerare il problema della derivabilità in $x=1$ e lo studio del segno.
Ora puoi considerare il problema della derivabilità in $x=1$ e lo studio del segno.
"Cozza Taddeo":Perfetto
Esatto!
Ora puoi considerare il problema della derivabilità in $x=1$ e lo studio del segno.
Quindi riepilogando abbiamo che per $x < 1$ la funzione è costante quindi la derivata e nulla. Per $x >= 1$ la derivata è $1/(x^2-2x+2)$...
Per $x = 1$ la funzione assume lo stesso valore che si ha per $x < 1$ quindi la derivata è nulla...
Ho detto bene?
"andre85":
Per $x = 1$ la funzione assume lo stesso valore che si ha per $x < 1$ quindi la derivata è nulla...
Ho detto bene?
No.
Per valutare la derivata in $x=1$, devi calcolare il limite destro e sinistro per $x->1$ di $f'(x)$ e verificare se risultano valori finiti e uguali. In caso affermativo la derivata esiste e conicide con tale valore altrimenti la derivata non esiste e si può avere un punto angoloso, una cuspide, ecc.
Per $x = 1$ il limite per $x->1$ di $f'(x)=f'(1)=1$ quindi coincide.
Procedendo con lo studio del segno della derivata prima ho notato che non si annulla mai e assume sempre valori positivi.. a questo punto che succede?
Procedendo con lo studio del segno della derivata prima ho notato che non si annulla mai e assume sempre valori positivi.. a questo punto che succede?
"andre85":
Per $x = 1$ il limite per $x->1$ di $f'(x)=f'(1)=1$ quindi coincide.
Non ho capito questa considerazione: chi coincide con chi? Ricorda che per x<1 la derivata è $y'=0$...
"andre85":
Procedendo con lo studio del segno della derivata prima ho notato che non si annulla mai e assume sempre valori positivi
Questo è vero per $x>1$: ciò significa che per $x>1$ l'andamento della funzione è sempre...
Per $x<1$ la derivata invece, come già detto, vale costantemente $0$.
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