Studio funzione arctg((x+2)(3-x))

[Maltese1]

Dovrei studiare questa funzione ma mi blocco allo studio della derivata prima!!

$f(x)=arctan\frac{x+2}{3-x}$

dominio: il dominio dell'$arctan$ è tutto $\mathbb{R}$ ma avendo come argomento una razionale fratta dobbiamo imporre il denominatore diverso da 0
$3-x\ne0; x\ne3$ quindi $\exists y \forall x \in (-\infty,3)\cup(3,+infty)$

intersezione con gli assi: il grafico interseca gli assi nei punti $A(0, arctan\frac{2}{3})$ e $B(-2,0)$
segno: $y>0, \forall x \in (-2,3)$ e $y<0, \forall x \in (-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$
limiti: ahia qui c'è un altro tasto dolente per me..ho fatto

$\lim_{x \to 3^-} = +\infty$
$\lim_{x \to 3^+} = -\infty$
quindi c'è un asintoto verticale in x=3
però non riesco a capire gli altri due limiti, per $x\to\pm\infty$
e poi non riesco a fare la derivata prima, mi escono dei calcoli assurdi da fare

[Boris1]

per quanto riguarda i due limiti che hai postato, son sbagliati, perchè per $x->3^-$ il fratto tende ad infinito, ma la tua funzione tende a $\pi/2$ e nell'altro limite tende a $-\pi/2$.
la derivata è $5/(2x^2-2x+13)$.. ma nulla di troppo complicato a dire il vero.. hai difficoltà nei calcoli o nella derivazione delle funzioni composte?
gli ultimi limiti che chiedi.. studia il limite sul fratto, che tende ad un valore finito, e poi hai finito.

[Maltese1]

ho difficoltà nella derivazione di funzioni composte..potresti spiegarmi come hai ottenuto quella derivata?

[Boris1]

in formule $d/(dx)f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$
nel tuo caso abbiamo $f(x)=arctanx$ $g(x)=(x+2)/(3-x)$
quindi devi calcolarti $f'(x)$, ma non calcolata nei punti $x$, bensì nei punti $g(x)$ e poi moltiplicare per $g'(x)$.
praticamente: $f'(g(x))=[1/(1+x^2)]_(x=(x+2)/(3-x))$, mentre $g'(x)$ è la derivata di una funzione razionale che ben conosci.