Studio funzione al variare di un parametro

[Anto95_math]

Buongiorno a tutti!

Avrei bisogno di una mano a comprendere come eseguire il seguente studio di funzione:

$f(x)=sqrt(3^x-kx^2)$

Per quanto riguarda il dominio, l'argomento del radicale deve essere $3^x -kx^2 >=0$. A questo punto mi ritrovo con una disequazione esponenziale... come continuo?

$3^x >= kx^2$
$x <= log_3(kx^2)$, con $kx^2 > 0$

Grazie in anticipo.

[cooper1]

io la risolverei graficamente, osservando anche che per $k < 0$ non ci sono soluzioni.

[Anto95_math]

Grazie per la risposta.

Per $k<0$ non esistono soluzioni perché $3^x$ è sempre positivo? Risolvere graficamente in che senso? Dovrei trovare anche gli asintoti, i punti di minimo, massimo, flessi ecc.

[cooper1]

proprio per quel motivo. no risolvere graficamente non significa fare lo studio di funzione ma mettere graficare le due funzioni e capire dove $3^x$ è maggiore di $kx^2$. a questo punto sai che la soluzione si ha per alcuni valori che non si trovano analiticamente. nel tuo caso si ha che l'esponenziale è maggiore di $kx^2$ per i valori di x tali che $ alpha <= x<= beta $ con $ alpha <0 ^^ beta>0 $

[Anto95_math]

Scusa la mia ignoranza, ma continuo a non aver chiaro il concetto.

Ho una esponenziale e una parabola. Non conoscendo il parametro $k$, come determino l'intervallo $\alpha <= x <= \beta$ ?

[cooper1]

i valori di $alpha, beta$ non li si determinano è questo il punto. studiando al variare di k io direi che:
per $ k=kx^2 $ per $ x>=alpha $
per $ k>bark $ $ 3^x>=kx^2 $ per $ beta<=x<=gamma$

[Anto95_math]

Molto astratto come ragionamento... comunque, ripensando, la disequazione $3^x >= kx^2$ se $k < 0$ dovrebbe essere sempre verificata. Sei proprio sicuro che per k negativo non esistono soluzioni?


come posso continuare? Derivo?

[@melia]

"Anto95_math":Molto astratto come ragionamento... comunque, ripensando, la disequazione $3^x >= kx^2$ se $k < 0$ dovrebbe essere sempre verificata. Sei proprio sicuro che per k negativo non esistono soluzioni?

L'equazione non ammette soluzioni, la disequazione è sempre verificata, quindi la funzione esiste sempre per $k<=0$.

Per $k>0$ le funzioni $y=3^x$ e $y=kx^2$ si intersecano sicuramente in un valore $x=alpha<0$ e poi dipende da $k$, possono esserci due intersezioni distinte, due intersezioni coincidenti (caso di tangenza), nessuna intersezione. Tieni conto che l'esponenziale va all'infinito più veloce di qualunque potenza di $x$, ma al finito le cose possono essere diverse.

Riassumendo
$k<=0$ la funzione esiste sempre
$0=alpha$ con $alpha<0$ e $2.2 $k>bar(k)$ la funzione esiste per $alpha<=x<= beta vv x>= gamma$ con $alpha<0$ e $02$

[cooper1]

"Anto95_math":Molto astratto come ragionamento... comunque, ripensando, la disequazione $ 3^x >= kx^2 $ se $ k < 0 $ dovrebbe essere sempre verificata. Sei proprio sicuro che per k negativo non esistono soluzioni?
come posso continuare? Derivo?

nono hai ragione tu, ovviamente è sempre verificata!

[Anto95_math]

"@melia":
Per $k>0$ le funzioni $y=3^x$ e $y=kx^2$ si intersecano sicuramente in un valore $x=alpha<0$ e poi dipende da $k$, possono esserci due intersezioni distinte, due intersezioni coincidenti (caso di tangenza), nessuna intersezione. Tieni conto che l'esponenziale va all'infinito più veloce di qualunque potenza di $x$, ma al finito le cose possono essere diverse.

Riassumendo
$k<=0$ la funzione esiste sempre
$0=alpha$ con $alpha<0$ e $2.2 $k>bar(k)$ la funzione esiste per $alpha<=x<= beta vv x>= gamma$ con $alpha<0$ e $02$

Ti ringrazio, ma continuo a non aver chiaro il procedimento... perché devo trovare l'intersezione tra $3^x$ e $kx^2$ ? Sono abituato ai classici studi di funzione. Si risolvono così le disequazioni esponenziali?

[@melia]

"Anto95_math":
Ti ringrazio, ma continuo a non aver chiaro il procedimento... perché devo trovare l'intersezione tra $3^x$ e $kx^2$ ? Sono abituato ai classici studi di funzione. Si risolvono così le disequazioni esponenziali?

Non le equazioni/disequazioni esponenziali, bensì le equazioni/disequazioni che non sappiamo risolvere per via elementare.

Ti faccio un semplice esempio.
Supponi di avere la disequazione $x^5+x-4>0$, Ruffini non funziona, devi usare la via grafica:
$x^5> -x+4$, poi grafico delle due funzioni $y=x^5$ e $y=-x+4$ che si intersecano solo in un punto $x_0$ compreso tra 1 e 2, quindi il grafico della potenza quinta sta sopra a quello della retta, cioè la disequazione è verificata, per $x>x_0$.