Studio funzione a due variabili
Salve a tutti, vorrei chiedere qualche minuto per un aiuto rispetto a questo esercizio:
Si consideri la funzione a due variabili $ f(x,y) = -x+3y^2+xy+2 $
1)Determinare il gradiente nel punto $ (-2 , -1) $ .
2)Determinare i punti critici e classificarli.
3)Stabilire se la funzione è superiormente limitata e/o se è inferiormente limitata.
1) ottengo \( \bigtriangledown f(x , y) = [ (y-1) , (6y + x)] \)
studiandola nel punto \( (-2 , -1) \)
ottengo \( \bigtriangledown f(x , y) = (-2 , -8) \)
2)Cerco i punti stazionari tali per cui \( \bigtriangledown f(x , y) = 0 \)
\( \begin{cases} \frac{\partial^{}f}{\partial x} (x , y) = 0 \\ \frac{\partial^{}f}{\partial y} (x , y) = 0\end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 1 \\ x = -6 \end{cases} \)
\( A = (-6 , 1) \)
Calcolo la matrice Hessiana (derivate parziali seconde pure e miste)
\( H (x , y) =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 &6 \end{bmatrix} \)
Questo è il primo punto non chiaro... nel senso che dovrei valutare la matrice nei punti stazionari, ma qui non riesco a farlo mancando le incognite all'interno della matrice. Come classifico i punti critici? Ho un punto di sella?
3) Se \( f \) non ha punti di massimo e/o minimo assoluto, allora non può essere superiormente e/o inferiormente limitata. Però qua buio quasi assoluto.. nel senso che non so come operare. Mi viene da pensare che dovrei studiare come varia il comportamento della funzione quando va a \( +\infty \) e come si comporta a \( -\infty \). Qualcuno mi illumina?
(Scusate eventuali mancanze, ma è il primo giorno che vedo matrici e funzioni a due variabili)
Grazie per qualsiasi aiuto
Si consideri la funzione a due variabili $ f(x,y) = -x+3y^2+xy+2 $
1)Determinare il gradiente nel punto $ (-2 , -1) $ .
2)Determinare i punti critici e classificarli.
3)Stabilire se la funzione è superiormente limitata e/o se è inferiormente limitata.
1) ottengo \( \bigtriangledown f(x , y) = [ (y-1) , (6y + x)] \)
studiandola nel punto \( (-2 , -1) \)
ottengo \( \bigtriangledown f(x , y) = (-2 , -8) \)
2)Cerco i punti stazionari tali per cui \( \bigtriangledown f(x , y) = 0 \)
\( \begin{cases} \frac{\partial^{}f}{\partial x} (x , y) = 0 \\ \frac{\partial^{}f}{\partial y} (x , y) = 0\end{cases} \)
\( \begin{cases} y = 1 \\ x = -6 \end{cases} \)
\( A = (-6 , 1) \)
Calcolo la matrice Hessiana (derivate parziali seconde pure e miste)
\( H (x , y) =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 &6 \end{bmatrix} \)
Questo è il primo punto non chiaro... nel senso che dovrei valutare la matrice nei punti stazionari, ma qui non riesco a farlo mancando le incognite all'interno della matrice. Come classifico i punti critici? Ho un punto di sella?
3) Se \( f \) non ha punti di massimo e/o minimo assoluto, allora non può essere superiormente e/o inferiormente limitata. Però qua buio quasi assoluto.. nel senso che non so come operare. Mi viene da pensare che dovrei studiare come varia il comportamento della funzione quando va a \( +\infty \) e come si comporta a \( -\infty \). Qualcuno mi illumina?
(Scusate eventuali mancanze, ma è il primo giorno che vedo matrici e funzioni a due variabili)
Grazie per qualsiasi aiuto
Risposte
Se la matrice hessiana è una normale matrice reale allora non dipende dal punto, ovvero è costante su tutto il dominio.
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