Studio Funzione

[ciuf_ciuf]

Volevo solo sapere se ho studiato tutto oppure mi sono dimenticato qualcosa. La funzione è questa

$ f(x,y) = |x-y|(y-x^2+1) $ studiare max e min relativi e assoluti

Allora ho separato i casi in cui x-y > 0 e x-y < 0.

Nel caso x>y facendo le derivate parziali e ponendole a 0 si trovano i seguenti punti critici $P_1(1/2,-1/8) ; P_2(1/2- root()(5)/2 , 1/2- root()(5)/2 ) ; P_3(1/2+ root()(5)/2 , 1/2+ root()(5)/2 ) .

Usando la matrice Hessiana si trova che $P_1$ è di Max relativo mentre $P_2, P_3$ non sono né Max né Min .

Arrivati qui volevo chiedervi è necessario studiare anche il caso x ? Perché io l'ho fatto e ho trovato gli stessi punti solo che in questo caso $P_1$ risulta di Min relativo. Ho pensato quindi che non era necessario in quanto le due funzioni sono simmetriche e quindi bastava semplicemente dire che il Max nel caso x>y diventava un Min nel caso x
Grazie per l'eventuale aiuto. Ciao

[ciampax]

Nel secondo caso, cioè per $x-1/8=y$.

Ovviamente devi studiare il caso per cui $x=y$ (in tal caso la funzione è identicamente nulla). Osserva che i punti $P_2,\ P_3$ si trovano su questa retta (è la bisettrice del primo e terzo quadrante). Questi risultano punti critici e, come affermi, non sono né max né min. Ma sei sicuro che non siano di altra natura? Rifletti un po'.

[ciuf_ciuf]

Uhm vero, quindi anche i punti $P_2$ e $ P_3$ se li considero nel caso $x>=y$ li devo eliminare nel caso x

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[ciuf_ciuf]

"ciampax":Questi risultano punti critici e, come affermi, non sono né max né min. Ma sei sicuro che non siano di altra natura? Rifletti un po'.

Sono punti di sella giusto ?

[ciampax]

"ciuf_ciuf":[quote="ciampax"]Questi risultano punti critici e, come affermi, non sono né max né min. Ma sei sicuro che non siano di altra natura? Rifletti un po'.

Sono punti di sella giusto ?[/quote]

Può essere. Ma devi riuscire ad affermarlo con certezza.

[ciuf_ciuf]

Vedendo che il determinante della matrice hessiana risulta negativo in quei punti non mi da già la certezza che siano di sella ? Devo fare altri test ?

[ciampax]

No. E' che non lo avevi scritto quanto ti venisse il determinante dell'Hessiana.

[ciuf_ciuf]

"ciampax":No. E' che non lo avevi scritto quanto ti venisse il determinante dell'Hessiana.

è vero, non l'ho scritto perché l'esercizio chiede massimi e minimi relativi e assoluti e quindi non pensavo fosse importante segnalarlo. Quindi per concludere questa funzione ha solo quel massimo relativo nel punto $P_1$ ?

[ciampax]

Sì

[ciuf_ciuf]

Grazie,