Studio funzione

[christian951]

Ciao ragazzi dovrei fare questo studio di funzione arctg(1/x)-((2x)/(1+x^2)) e mi sono bloccato allo studio del segno,ho fatto il mcm quindi mi trovo al numeratore (1+x^2)arctg(1/x)-2x>0
qualcuno mi aiuta a risolverla?
grazie!!!

[christian951]

"TeM":Dunque, data la funzione \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x) := \arctan\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{2\,x}{1 + x^2} \] il proprio dominio è banalmente \[ \text{dom}[f] = \mathbb{R}\backslash\{0\} \] e altrettanto semplicemente si nota che \[ f(-x) = - f(x) \; \; \; \; \; \forall\, x \in \text{dom}[f] \] da cui si evince che \(f\) è una funzione dispari, ossia simmetrica rispetto all'origine \(O\);
alla luce di tutto ciò, è sufficiente limitarsi allo studio per \(x > 0\).

Ciò fatto, studiando \(f\) ai limiti per \(x > 0\), si ha \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{\pi}{2}\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \] mentre studiando la derivata prima \(f'\) e la derivata seconda \(f''\) per \(x > 0\), si ha \[\begin{aligned}f'(x) = \frac{x^2 - 3}{\left(x^2 + 1\right)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge \sqrt{3} \; ; \\ f''(x) = \frac{2\,x\left(7-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^3} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 < x \le \sqrt{7} \; ; \end{aligned} \] da cui si evince che \(f\) decresce per \(0 < x < \sqrt{3}\), presenta un punto di minimo relativo
per \(x=\sqrt{3}\) e cresce per \(x > \sqrt{3}\); analogamente, \(f\) presenta concavità verso l'alto per
\(0 < x < \sqrt{7}\), un flesso per \(x=\sqrt{7}\) e concavità verso il basso per \(x > \sqrt{7}\).

Alla luce di tale studio risulta evidente che per \(x > 0\) la funzione \(f\) si annulli solo per
\(x = \alpha\) con \(0 < \alpha < \sqrt{3}\) e che sia positiva per \(0 < x < \alpha\) e negativa per \(x > \alpha\).
Per determinare il valore di \(\alpha\) occorre procedere per via numerica, ottenendo \(\alpha \approx 0.7185\).

Spero sia sufficientemente chiaro.

Si grazie,quindi non devo risolvere la disequazione f(x)>0?
basta fare il limite?

[christian951]

ok grazie mille !!