Studio forma differenziale radiale con valore assoluto
"a) Studiare la seguente forma differenziale:
$ w=|x|/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy $
b) Siano $ varphi _1(t)=(cost/(t^2+1), sint) $ con $ tin [0,pi/2] $ e $ varphi _2(t) = (cost, sint) $ con $ tin [pi/2, 3/4pi] $.
Calcolare $ int_(varphi _1 uu varphi _2)^() w $."
Svolgimenti:
a) Il dominio è $ D=R^2 - {(0,0)} $.
La forma è radiale, quindi $ r^2=x^2+y^2 $ e $ 2rdr=2xdx+2ydy $
$ rdr=xdx+ydy $
Se x>0, posso togliere il modulo e scrivere $ w=x/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy = (rdr)/r^2 = (dr)/r $.
$ U(x,y)=ln|r| = ln|x^2+y^2| $, quindi w è esatta in $ {(x,y)in R^2|x>0} $.
b) Per svolgere questo punto devo per forza sostituire entrambe le curve e calcolare l'integrale? Devo spezzarlo in $ int_(varphi _1)^() w + int_(varphi _2)^() w$, giusto?
$ w=|x|/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy $
b) Siano $ varphi _1(t)=(cost/(t^2+1), sint) $ con $ tin [0,pi/2] $ e $ varphi _2(t) = (cost, sint) $ con $ tin [pi/2, 3/4pi] $.
Calcolare $ int_(varphi _1 uu varphi _2)^() w $."
Svolgimenti:
a) Il dominio è $ D=R^2 - {(0,0)} $.
La forma è radiale, quindi $ r^2=x^2+y^2 $ e $ 2rdr=2xdx+2ydy $
$ rdr=xdx+ydy $
Se x>0, posso togliere il modulo e scrivere $ w=x/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy = (rdr)/r^2 = (dr)/r $.
$ U(x,y)=ln|r| = ln|x^2+y^2| $, quindi w è esatta in $ {(x,y)in R^2|x>0} $.
b) Per svolgere questo punto devo per forza sostituire entrambe le curve e calcolare l'integrale? Devo spezzarlo in $ int_(varphi _1)^() w + int_(varphi _2)^() w$, giusto?
Risposte
Cosa intendi con "la forma è radiale"? In tutti i casi, qui c'è evidentemente un errore:
"maxira":Non è possibile che \(2r\, dr=r\, dr\). Una cosa non può essere uguale al doppio di sé stessa, a meno che non sia zero.
"$ 2rdr=2xdx+2ydy = rdr=xdx+ydy $
E' stato solo un errore di battitura, non ci voleva quell'=.
La forma differenziale è radiale, cioè il modulo delle sue componenti dipende da x^2+y^2 (distanza dal centro).
La forma differenziale è radiale, cioè il modulo delle sue componenti dipende da x^2+y^2 (distanza dal centro).
Va bene introdurre le coordinate polari, però il trucco di riscrivere \(\omega\) come \(\frac{dr}{r}\) funziona solo su \(x>0\). Su \(x<0\) ti verrà fuori un'altra cosa, e non lo so se in coordinate polari si semplifica tanto. Penso proprio di no.
"dissonance":
Va bene introdurre le coordinate polari, però il trucco di riscrivere \( \omega \) come \( \frac{dr}{r} \) funziona solo su \( x>0 \). Su \( x<0 \) ti verrà fuori un'altra cosa, e non lo so se in coordinate polari si semplifica tanto. Penso proprio di no.
Dici che è meglio non introdurle e dimostrare l'esattezza in un altro modo?
Posso mostrare che se esiste una circuitazione non nulla che include (0,0) la forma differenziale è esatta?
$ gamma (t)=(cost,sent) $
Per x>0:
$ int_(gamma )^() w = - int_(0 )^(2pi) costsent dt + int_(0 )^(2pi) sentcost dt = 0 $
E la stessa cosa ottengo per x<0, dunque w è esatta.
E riguardo il punto 2?
Ma tu sei sicuro che la forma è chiusa?
Inoltre, gli integrali non si calcolano come nel tuo ultimo post. Devi distinguere i casi \(x>0\) (corrispondente a \(\theta\in (-\pi/2, \pi/2)\) e \(x\le 0\). Stesso discorso per l'integrale su \(\phi_1\cup \phi_2\) del punto \(b\). Per l'integrale su \(\phi_1\), che giace interamente nella regione \(\{x>0\}\), puoi usare la formula radiale che hai trovato prima. Per l'altro, no.
Inoltre, gli integrali non si calcolano come nel tuo ultimo post. Devi distinguere i casi \(x>0\) (corrispondente a \(\theta\in (-\pi/2, \pi/2)\) e \(x\le 0\). Stesso discorso per l'integrale su \(\phi_1\cup \phi_2\) del punto \(b\). Per l'integrale su \(\phi_1\), che giace interamente nella regione \(\{x>0\}\), puoi usare la formula radiale che hai trovato prima. Per l'altro, no.
Riprovo.
1) x>0
$ w=(x)/(x^2+y^2) dx + (y)/(x^2+y^2) dy $
La forma è chiusa. Infatti:
$ (delta A)/(delta y)=(delta B)/(delta x) $
$ (-2xy)/(x^2+y^2)^2=(-2xy)/(x^2+y^2)^2 $
Non essendo il dominio semplicemente connesso, posso dimostrare che è esatta solo con l'integrale:
$ gamma(t)=(cost,sent) $ con $ tin [-pi/2,pi/2] $
$ int_(-pi/2)^(pi/2) −costsint dt + sintcost = 0 $
Posso quindi trovare la primitiva $ U(x,y)=1/2ln|x^2+y^2| $ e calcolare l'integrale lungo $ varphi _1(t)=(cost/(t^2+1), sint) $ con $ tin [0,pi/2] $ e $varphi _2(t)=(cost,sint) $ con $ tin [pi/2, 3/4pi] $.
$ int_(varphi _1 uu varphi _2)^() w = $
$ int_(varphi _1)^() w +int_(varphi _2)^() w = $
$ 1/2ln|((cos(pi/2))/(pi^2/4+1))^2+(sin(pi/2))^2| $
$ -1/2ln|((cos0/1)^2-(sin0)^2| $
$+ 1/2ln|(cos(3/4pi))^2+(sin(3/4pi))^2| $
$ -1/2ln|(cos(pi/2))^2+(sin(pi/2))^2| =0 $
2) x<0
La forma non è chiusa, perché:
$ (delta A)/(delta y)!= (delta B)/(delta x) $
$ (2xy)/(x^2+y^2)^2!= (-2xy)/(x^2+y^2)^2 $
Dunque devo calcolare l'integrale:
$ int_(varphi _1 uu varphi _2)^() w = int_(varphi _1)^() w +int_(varphi _2)^() w = int_(varphi _1)^() (-x)/(x^2+y^2)dx + y/(x^2+y^2)dy + int_(varphi _2)^() (-x)/(x^2+y^2)dx + y/(x^2+y^2)dy$
Il primo integrale è:
$ int_(0)^(pi/2) (-cost)/(t^2+1) 1/(((cos^2t)/(t^2+1))^2+sin^2t) (-sint(t^2+1)-2tcost)/(t^2+1)^2 + sint/(((cos^2t)/(t^2+1))^2+sin^2t)(-cost) dt = int_(0)^(pi/2) (costsint(t^2+1)+2tcos^2t)/((t^2+1) (cos^4t+sin^2t)) dt - int_(0)^(pi/2) (sintcost(t^2+1)^2)/(cos^4t+sin^2t(t^2+1)^2) dt $
Il secondo:
$ int_(pi/2)^(3pi/4) costsint + sintcost dt = (5pi^2)/32 $
Ho sbagliato a sostituire o il primo integrale è veramente così complicato?
1) x>0
$ w=(x)/(x^2+y^2) dx + (y)/(x^2+y^2) dy $
La forma è chiusa. Infatti:
$ (delta A)/(delta y)=(delta B)/(delta x) $
$ (-2xy)/(x^2+y^2)^2=(-2xy)/(x^2+y^2)^2 $
Non essendo il dominio semplicemente connesso, posso dimostrare che è esatta solo con l'integrale:
$ gamma(t)=(cost,sent) $ con $ tin [-pi/2,pi/2] $
$ int_(-pi/2)^(pi/2) −costsint dt + sintcost = 0 $
Posso quindi trovare la primitiva $ U(x,y)=1/2ln|x^2+y^2| $ e calcolare l'integrale lungo $ varphi _1(t)=(cost/(t^2+1), sint) $ con $ tin [0,pi/2] $ e $varphi _2(t)=(cost,sint) $ con $ tin [pi/2, 3/4pi] $.
$ int_(varphi _1 uu varphi _2)^() w = $
$ int_(varphi _1)^() w +int_(varphi _2)^() w = $
$ 1/2ln|((cos(pi/2))/(pi^2/4+1))^2+(sin(pi/2))^2| $
$ -1/2ln|((cos0/1)^2-(sin0)^2| $
$+ 1/2ln|(cos(3/4pi))^2+(sin(3/4pi))^2| $
$ -1/2ln|(cos(pi/2))^2+(sin(pi/2))^2| =0 $
2) x<0
La forma non è chiusa, perché:
$ (delta A)/(delta y)!= (delta B)/(delta x) $
$ (2xy)/(x^2+y^2)^2!= (-2xy)/(x^2+y^2)^2 $
Dunque devo calcolare l'integrale:
$ int_(varphi _1 uu varphi _2)^() w = int_(varphi _1)^() w +int_(varphi _2)^() w = int_(varphi _1)^() (-x)/(x^2+y^2)dx + y/(x^2+y^2)dy + int_(varphi _2)^() (-x)/(x^2+y^2)dx + y/(x^2+y^2)dy$
Il primo integrale è:
$ int_(0)^(pi/2) (-cost)/(t^2+1) 1/(((cos^2t)/(t^2+1))^2+sin^2t) (-sint(t^2+1)-2tcost)/(t^2+1)^2 + sint/(((cos^2t)/(t^2+1))^2+sin^2t)(-cost) dt = int_(0)^(pi/2) (costsint(t^2+1)+2tcos^2t)/((t^2+1) (cos^4t+sin^2t)) dt - int_(0)^(pi/2) (sintcost(t^2+1)^2)/(cos^4t+sin^2t(t^2+1)^2) dt $
Il secondo:
$ int_(pi/2)^(3pi/4) costsint + sintcost dt = (5pi^2)/32 $
Ho sbagliato a sostituire o il primo integrale è veramente così complicato?
Senti, è lungo risponderti e non ne ho proprio la possibilità. Nei conti ti destreggi, ma a livello di concetto hai le idee molto confuse. Stai sicuramente facendo esercizi senza studiare la teoria. Non approvo affatto questo modo di procedere, ma se proprio vuoi fare così, in bocca al lupo.
Almeno per quanto riguarda il punto b), visto che la forma differenziale è esatta per $x gt 0$, conviene sostituire la curva aperta di parametrizzazione $varphi_1$ con un arco di circonferenza avente gli stessi estremi:
In questo modo, procedendo con l'unica parametrizzazione $varphi_2$, non per $0 lt= t lt= \pi/2$ ma per $0 lt= t lt= 3/4\pi$, il calcolo è senz'altro più agevole.
In questo modo, procedendo con l'unica parametrizzazione $varphi_2$, non per $0 lt= t lt= \pi/2$ ma per $0 lt= t lt= 3/4\pi$, il calcolo è senz'altro più agevole.
"anonymous_0b37e9":
Almeno per quanto riguarda il punto b), visto che la forma differenziale è esatta per x>0, conviene sostituire la curva aperta di parametrizzazione φ1 con un arco di circonferenza avente gli stessi estremi:
Hai ragione!
Quindi posso anche sfruttare quel teorema e calcolare l'integrale con $ varphi_1 = (cost, sint)$, $ t∈[0,pi/2]$.
Ho una domanda, però: qual è il motivo per cui non posso svolgere l'esercizio calcolando gli estremi di $ varphi_1 $, $ varphi_2 $ e facendo direttamente la differenza dei valori della primitiva in quei punti?
Cioè, perché non posso fare questo?
Gli estremi sono $ (1,0) $, $ (0,1) $ per $ varphi_1 $ e $ (0,1) $, $ (-sqrt2/2, sqrt2/2) $ per $ varphi_2 $.
$ int_(varphi_1)^() w= U(0,1)-U(1,0)= 0 $
$ int_(varphi_2)^() w= U(-sqrt2/2, sqrt2/2)-U(0,1)= 0 $
E' perché la forma è esatta solo per x>0, mentre due degli estremi comprendono x=0?
"maxira":
... qual è il motivo per cui non posso svolgere l'esercizio ...
Perché la forma differenziale, per $x lt 0$, non è esatta. Inoltre, il secondo integrale, calcolato lungo l'arco di circonferenza mediante la definizione, non è affatto nullo:
$\int_{\pi/2}^{3/4\pi}(-|cost|/(cos^2t+sin^2t)sint+sint/(cos^2t+sin^2t)cost)dt=$
$=\int_{\pi/2}^{3/4\pi}2costsintdt=[sin^2t]_(\pi/2)^(3/4\pi)=1/2-1=-1/2$
Probabilmente non hai considerato il valore assoluto.
Okay, allora, ricapitolando:
w non è chiusa. Se togliamo il modulo e studiamo i due casi x>0, x<0 risulta chiusa nel primo caso e non chiusa nel secondo.
I due insiemi così creati sono di per sé semplicemente connessi, quindi nel primo caso la forma è anche esatta e infatti ammette primitiva.
Integrando lungo le due curve date dal problema ottengo 0 (per x>0).
Nel caso x<0, devo per forza calcolare gli integrali lungo le curve con la definizione.
Questo non l'ho capito, però. Se siamo nel caso x<0 e ho tolto il modulo, perché resta -|x|? Non dovrebbe restare -x?
w non è chiusa. Se togliamo il modulo e studiamo i due casi x>0, x<0 risulta chiusa nel primo caso e non chiusa nel secondo.
I due insiemi così creati sono di per sé semplicemente connessi, quindi nel primo caso la forma è anche esatta e infatti ammette primitiva.
Integrando lungo le due curve date dal problema ottengo 0 (per x>0).
Nel caso x<0, devo per forza calcolare gli integrali lungo le curve con la definizione.
"anonymous_0b37e9":
Inoltre, il secondo integrale, calcolato lungo l'arco di circonferenza mediante la definizione, non è affatto nullo.
Probabilmente non hai considerato il valore assoluto.
Questo non l'ho capito, però. Se siamo nel caso x<0 e ho tolto il modulo, perché resta -|x|? Non dovrebbe restare -x?
up
"maxira":
... ricapitolando ...
Ok.
"maxira":
Questo non l'ho capito ...
Infatti, il segno negativo in:
$\int_{\pi/2}^{3/4\pi}-|cost|/(cos^2t+sin^2t)sintdt=\int_{\pi/2}^{3/4\pi}costsintdt$
è dovuto al passaggio sottostante:
$[x=cost] rarr [dx=-sintdt]$
Ho capito.
E per quanto riguarda il primo integrale? (quello tra 0 e $pi/2$)
Non c'è un modo per semplificare i calcoli?
E per quanto riguarda il primo integrale? (quello tra 0 e $pi/2$)
Non c'è un modo per semplificare i calcoli?
"maxira":
E per quanto riguarda il primo integrale?
Si era detto di calcolarlo lungo un arco di circonferenza:
$\int_{0}^{\pi/2}(-|cost|/(cos^2t+sin^2t)sint+sint/(cos^2t+sin^2t)cost)dt=$
$=\int_{0}^{\pi/2}(-costsint+costsint)dt=0$
Quindi in definitiva avremo:
$ - int_(0)^(pi/2) |cost|sint dt +int_(0)^(pi/2) sintcost $
per $ varphi _1 (t) $, dato che la forma è esatta $ AA x>0 $.
Posso togliere il valore assoluto e ho:
$ - int_(0)^(pi/2) costsint dt +int_(0)^(pi/2) sintcost = 0 $
Per $ varphi _2 (t) $ avremo:
$ - int_(pi/2)^(3/4pi) |cost|sint dt+ int_(pi/2)^(3/4pi) sintcost dt $
Qui non posso togliere il valore assoluto, quindi:
$ [- (|cost|cost)/2] -1/4 = 1/4 -1/4 = 0 $
E ottengo $ int_(varphi_1uuvarphi_2 )^() w=0 $.
$ - int_(0)^(pi/2) |cost|sint dt +int_(0)^(pi/2) sintcost $
per $ varphi _1 (t) $, dato che la forma è esatta $ AA x>0 $.
Posso togliere il valore assoluto e ho:
$ - int_(0)^(pi/2) costsint dt +int_(0)^(pi/2) sintcost = 0 $
Per $ varphi _2 (t) $ avremo:
$ - int_(pi/2)^(3/4pi) |cost|sint dt+ int_(pi/2)^(3/4pi) sintcost dt $
Qui non posso togliere il valore assoluto, quindi:
$ [- (|cost|cost)/2] -1/4 = 1/4 -1/4 = 0 $
E ottengo $ int_(varphi_1uuvarphi_2 )^() w=0 $.
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