Studio forma differenziale
Salve a tutti,
Vorrei sapere se i miei calcoli per la seguente forma differenziali sono corretti:
$\omega = xlog(x^2+y^2)dx+ylog(x^2+y^2)dy$
Allora per prima cosa vedo il dominio della forma e noto che NON è semplicemente connesso. Poiché comprende tutti gli $(x,y)$ tranne $(0,0)$
Poi vedo se è chiusa, quindi faccio $d(a(x,y))/dy$ e $d(b(x,y))/dx$. Le due derivate risultano uguali quindi la forma è chiusa.
Ora devo dimostrare che la forma sia esatta, quindi calcolo l'integrale curvilineo esteso a $\gamma$ di $\omega$ dove $\gamma: x^2+y^2=1$ porto in coordinate polari e noto che l'argomento dell'integrele si annulla per cui, l'integrale di zero è una costante. Può accadere una cosa del genere o ho sbagliato qualcosa?
Grazie a tutti
Vorrei sapere se i miei calcoli per la seguente forma differenziali sono corretti:
$\omega = xlog(x^2+y^2)dx+ylog(x^2+y^2)dy$
Allora per prima cosa vedo il dominio della forma e noto che NON è semplicemente connesso. Poiché comprende tutti gli $(x,y)$ tranne $(0,0)$
Poi vedo se è chiusa, quindi faccio $d(a(x,y))/dy$ e $d(b(x,y))/dx$. Le due derivate risultano uguali quindi la forma è chiusa.
Ora devo dimostrare che la forma sia esatta, quindi calcolo l'integrale curvilineo esteso a $\gamma$ di $\omega$ dove $\gamma: x^2+y^2=1$ porto in coordinate polari e noto che l'argomento dell'integrele si annulla per cui, l'integrale di zero è una costante. Può accadere una cosa del genere o ho sbagliato qualcosa?
Grazie a tutti
Risposte
Quello che hai verificato è che la $\omega$ ristretta a $\gamma$ è la forma differenziale nulla. Questo non ti assicura che sia esatta.
Si infatti. Questo mi dimostrerebbe il contrario? come si dimostra se è esatta allora? Se non è esatta allora non si può calcolare la primitiva?
Se prendi un qualsiasi insieme semplicemente connesso che non contiene l'origine (ad esempio, uno dei quadranti privato degli assi) la forma risulta chiusa su esso e quindi esatta. E una primitiva risulta
$$f(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)\left[\log(x^2+y^2)-1\right]+c$$
con $c\in RR$.
Per vedere se lo è su tutto $RR^2$, prova ad integrare su una qualsiasi circonferenza con centro l'origine e raggio $r>0$.
$$f(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)\left[\log(x^2+y^2)-1\right]+c$$
con $c\in RR$.
Per vedere se lo è su tutto $RR^2$, prova ad integrare su una qualsiasi circonferenza con centro l'origine e raggio $r>0$.
Il problema è che andando a ricevimento dal professore di analisi questa mattina mi ha detto che quando il dominio è tutto R tranne un punto devo dimostrare prima che la forma sia esatta prima di calcolare la primitiva. E che per dimostrarlo devo fare l'integrale curvilineo esteso ad una qualsiasi curva (mi ha detto di usare sempre la circonferenza) della forma. È per questo che mi sono rivolta a voi con questo esercizio perché avevo già fatto questo esercizio così come mi hai risposto.
Se uso $r>0$ decido io un valore arbitrario? Perché ponendo $r=1$ viene quello che ho scritto all'inizio.
Grazie mille per le risposte
Se uso $r>0$ decido io un valore arbitrario? Perché ponendo $r=1$ viene quello che ho scritto all'inizio.
Grazie mille per le risposte
Con $r>0$ qualsiasi hai che la forma si riduce a
$$\omega=(x\ dx+y\ dy)\cdot\log r^2$$
poiché $x^2+y^2=r^2$. Parametrizza con $x=r\cos t,\ y=r\sin t$ e vedi cosa accade.
$$\omega=(x\ dx+y\ dy)\cdot\log r^2$$
poiché $x^2+y^2=r^2$. Parametrizza con $x=r\cos t,\ y=r\sin t$ e vedi cosa accade.
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