Studio forma differenziale

[Daddarius1]

Sono andato a calcolarmi il rotore, per vedere se è uguale a zero, così da poter affermare che è esatta, e andare a calcolare la primitiva. Posto le derivate che mi sono venute:

$rot\omega=(-1/(sqrtx - y)^2, 1/(4xy^2 + 4x^2 + 8yx^(3/2)), 1/(2(y-sqrtx)^2 x^(3/2)) - 2x/(4xy^2+4x^2+ 8x^(3/2)y)) $. Durante il calcolo del rotore, alcune derivate parziali si annullavano lasciando proprio quest' ultime. Non sono certo della validità delle mie derivate parziali.

[Daddarius1]

Grazie per la risposta. Procederò a breve.

[ciampax]

Solo una aggiunta a ciò che ha detto TeM (che ha già svolto una buona parte dei conti): la forma si può scrivere anche come

$\omega=\omega_1+\omega_2$

dove

$\omega_1=1/{x+y+x}(dx+dy+dz)$

$\omega_2=-1/{y-\sqrt{x}}(1/{2\sqrt{x}}\ dx-dy)$

ed è facile vedere che entrambe le forme sono chiuse sul dominio fornito da TeM. A questo punto, per trovarne una primitiva, basta ragionare sulle due forme separatamente e poi sommare i risultati trovati.

[lordb]

Ciao,
innanzi tutto attenzione al fatto che:

Se $A$ aperto di $RR^n$, $omega_(|vec F):A->L(A,RR)$ (naturalmente $vec F:A->A$) dire che:

$vec nabla ^^ vec F = vec 0$ equivale alla condizione: $AAi,j in{1,...n},i!=j,D_iomega_j=D_jomega_i$$:$ $:= omega text{ chiusa}$

Dire $omega text{ è esatta }$ invece è affermare che esiste $f:A->RR$ differenziabile tale che $df=omega$.

E' immediato dimostrare che $omega text{ esatta} => omega text{ chiusa}$.

E' più laborioso mostrare che $omega text{ chiusa e } A text{ semplicemente connesso}=>omega text{ esatta} $.

Ti invito a ragionare su ciò perchè è molto importante.

Veniamo all'esercizio, allora abbiamo una forma differenziale: $omega:AsubRR^3->L(A,RR)$

$omega=(1/(x+y+z)-1/(2sqrt(x)*(y-sqrt(x))))dx+(1/(x+y+z)+1/(y-sqrt(x)))dy+(1/(x+y+z))dz$

Ti lascio rifare i calcoli per verificare che effettivamente $omega text{ è chiusa }$. Puoi utilizzare verificare che il campo è irrotazionale o la condizione equivalente che ti ho scritto sopra (a mio parere molto più comoda).

Determiniamo $A$: $A={(x,y,z)inRR^3|x+y+z!=0^^x!=0^^y!=sqrt(x)}$.

$A$ è abbastanza brutto (di sicuro non semplicemente connesso), quindi ci limitiamo a trovare una primitiva sul dominio $DsubA$ tale che $D$ sia semplicemente connesso e che $(1,2,1)inD$. Quindi $omega text{ è esatta}$ su $D$.
Mi sembra che $D={(x,y,z)inRR^3|x+y+z>=0^^x>=0^^y>=sqrt(x)}$, questo ci permetterà di ignorare i valori assoluti in seguito.

In spoiler il seguito, prova prima a farlo da solo!

Troviamo prima $f:D->RR$ primitiva, poi poniamo che si annulli in $(1,2,1)$.

Sia $f:D->RR,(x,y,z)->log(x+y+z)$.

Si ha che $D_3f=(partialf)/(partialz)=omega_3$. Tuttavia $D_1f=(partialf)/(partialx)!=omega_1 ^^ D_2f=(partialf)/(partialy)!=omega_2$.

Sicuramente allora esiste $phi$ di classe $C^1_(RR^2->RR)$ tale che:

$f:D->RR,(x,y,z)->log(x+y+z)+phi(x,y)$.

Poniamo $phi(x,y)=log(y-sqrt(x))$ (perchè $(partialphi)/(partialy)$=$1/(y-sqrt(x))$).

Quindi una primitiva è $f:D->RR,(x,y,z)->log(x+y+z)+log(y-sqrt(x))$.

Puoi verificarlo con la condizione $AAiin{1,2,3}D_i f=omega_i$, oppure che $vec nablaf=(omega_1,omega_2,omega_3)$.

Tutte le primitive sono date da ${f+c}$.

Bisogna determinare $c$ in modo che: $f(1,2,1)=0$:

$log(1+2+1)+log(2-sqrt(1))+c=0 => c=-log(4)$.

Dunque la tua primitiva è:

$f:D->RR,(x,y,z)->log(x+y+z)+log(y-sqrt(x))-log(4)$.

@TeM e ciampax, scusate non avevo visto le risposte mentre scrivevo...