Studio equazione differenziale (senza risolverla)
Propongo un altro esercizio molto simile.
Dato il seguente PdC: $y' = y^2/(x^2 y^2 -1)$, con condizione iniziale $y(0) = a >0$ e sia $y$ la sua soluzione massimale con $[0,l[$ suo insieme di definizione. Sia $x>=0$.
1. Provare che $y$ è decrescente in $[0,l[$.
Ragiono così. Osservo che la soluzione costante del problema di Cauchy è $y' = 0$ ovvero $y = 0$. Quindi per il teorema di esistenza e unicità (locale), la soluzione massimale non può mai intersecarsi con la soluzione costante $y = 0$.
Osservo che $y'(0) = a^2/(0-1)$ che risulta $y'(0) < 0$ poiché per ipotesi $a>0$. Quindi in un intorno dello zero la soluzione massimale è decrescente.
Fin qui sta bene? Ma come faccio poi a dimostrare che $y$ è decrescente in tutto $[0,l[$?
Dato il seguente PdC: $y' = y^2/(x^2 y^2 -1)$, con condizione iniziale $y(0) = a >0$ e sia $y$ la sua soluzione massimale con $[0,l[$ suo insieme di definizione. Sia $x>=0$.
1. Provare che $y$ è decrescente in $[0,l[$.
Ragiono così. Osservo che la soluzione costante del problema di Cauchy è $y' = 0$ ovvero $y = 0$. Quindi per il teorema di esistenza e unicità (locale), la soluzione massimale non può mai intersecarsi con la soluzione costante $y = 0$.
Osservo che $y'(0) = a^2/(0-1)$ che risulta $y'(0) < 0$ poiché per ipotesi $a>0$. Quindi in un intorno dello zero la soluzione massimale è decrescente.
Fin qui sta bene? Ma come faccio poi a dimostrare che $y$ è decrescente in tutto $[0,l[$?
Risposte
Poiché $a > 0$ il PdC non ammette soluzione costante.
Ora supponiamo per assurdo che la derivata cambia segno e quindi $y'=0$ in $[0,l[$ allora per come è definita risulta $y=0$, dunque $y \geq 0$ in $[0,l[$ perché un eventuale minimo deve essere necessariamente $y=0$. Quindi, chiamiamo $M:=max y>0$ [nota]Positivo perché non ammette soluzione costante.[/nota] in $[0,l[$ allora
$0 \leq y'=\frac{y^2}{x^2y^2-1} \leq \frac{M^2}{x^2y^2-1}$
Se $y'=0$ la disuguaglianza diventa $0 \leq -M^2$, assurdo.
Ora supponiamo per assurdo che la derivata cambia segno e quindi $y'=0$ in $[0,l[$ allora per come è definita risulta $y=0$, dunque $y \geq 0$ in $[0,l[$ perché un eventuale minimo deve essere necessariamente $y=0$. Quindi, chiamiamo $M:=max y>0$ [nota]Positivo perché non ammette soluzione costante.[/nota] in $[0,l[$ allora
$0 \leq y'=\frac{y^2}{x^2y^2-1} \leq \frac{M^2}{x^2y^2-1}$
Se $y'=0$ la disuguaglianza diventa $0 \leq -M^2$, assurdo.
Mentre nel punto successivo, quando chiede.
2. Provare che $y>0$ in $[0,l[$?
Qui non saprei proprio come muovermi
2. Provare che $y>0$ in $[0,l[$?
Qui non saprei proprio come muovermi
Potrebbe andare così?
Poichè si può applicare almeno il teorema di esistenza e unicità locale, la soluzione massimale non interseca altre soluzioni. Qui abbiamo la soluzione costante $y=0$ e per via della condizione iniziale $y>0$
Potrebbe andare?
Poichè si può applicare almeno il teorema di esistenza e unicità locale, la soluzione massimale non interseca altre soluzioni. Qui abbiamo la soluzione costante $y=0$ e per via della condizione iniziale $y>0$
Potrebbe andare?
Se $y'$ non può essere nulla in $[0,l[$ nemmeno $y$ può esserlo e dunque $y>0$ per i dati iniziali
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