Studio dominio, massimi e minimi funzione goniometrica
Buongiorno a voi tutti.
Volevo chiedere conferma sullo svolgimento di un esercizio.
La traccia chiede di calcolare dominio, massimi e minimi della funzione seguente:
$ |tanx|/(tan^2x+3) $
Per quanto concerne il dominio ho escluso i valori per cui la tangente non è definita quindi x diversa da $ pi /2+kpi $
per studiare i max e minimi ho discusso il modulo e l'ho riscrittta come una funzione definita a tratti.
fx= $ { ( tanx/(tan^2x+1:} ),(- tanx/(tan^2x+1:} ):} $
rispettivamente :
per 0
per $ pi $ /2
Ho calcolato le derivate prime per i due tratti e le ho poste maggiori di zero.
E' Corretto?
Tuttavia mi sono persa nel calcolo dei mex e min, qualcuno puo' aiutarmi ?
Grazie a tutti voi anticipatamente.
Volevo chiedere conferma sullo svolgimento di un esercizio.
La traccia chiede di calcolare dominio, massimi e minimi della funzione seguente:
$ |tanx|/(tan^2x+3) $
Per quanto concerne il dominio ho escluso i valori per cui la tangente non è definita quindi x diversa da $ pi /2+kpi $
per studiare i max e minimi ho discusso il modulo e l'ho riscrittta come una funzione definita a tratti.
fx= $ { ( tanx/(tan^2x+1:} ),(- tanx/(tan^2x+1:} ):} $
rispettivamente :
per 0
per $ pi $ /2
Ho calcolato le derivate prime per i due tratti e le ho poste maggiori di zero.
E' Corretto?
Tuttavia mi sono persa nel calcolo dei mex e min, qualcuno puo' aiutarmi ?
Grazie a tutti voi anticipatamente.
Risposte
"Mirtillo_84":
Buongiorno a voi tutti.
Volevo chiedere conferma sullo svolgimento di un esercizio.
La traccia chiede di calcolare dominio, massimi e minimi della funzione seguente:
$ |tanx|/(tan^2x+3) $
Per quanto concerne il dominio ho escluso i valori per cui la tangente non è definita quindi x diversa da $ pi /2+kpi $
Ok.
"Mirtillo_84":
per studiare i max e minimi ho discusso il modulo e l'ho riscrittta come una funzione definita a tratti.
E' Corretto?
Se intendi
$|tanx|/(tan^2x+3) ={ ( tan(x)/(tan^2(x)+3) \quad \text(se )tan(x)>=0),( -tan(x)/(tan^2(x)+3) \quad \text(se )tan(x)<0 ):}$
sì, è corretto. Ora dovresti calcolarti i limiti agli estremi del dominio e annullare le derivate per controllare se e dove esistono punti di massimo e di minimo.
Grazie per la gentile risposta!
Ho calcolato le derivate prime e le ho poste maggiori di zero.
Nel primo tratto mi risuta che la funzione è crescente tra:
π/3
quindi ho un min in : π/3 in 2/3π e 5/3π;
max in: π e 2π per quanto concerne il primo ramo.
Ovviamente in π/2+kπ non essendo la funzione definita, non avro' certo max e min.
E' corretto???
Ho calcolato le derivate prime e le ho poste maggiori di zero.
Nel primo tratto mi risuta che la funzione è crescente tra:
π/3
quindi ho un min in : π/3 in 2/3π e 5/3π;
max in: π e 2π per quanto concerne il primo ramo.
Ovviamente in π/2+kπ non essendo la funzione definita, non avro' certo max e min.
E' corretto???
No, devi aver commesso un errore da qualche parte: puoi postare la derivata che hai calcolato?
Per quanto concerne il primo tratto la derivata prima mi esce:
$ -((tan^2x-3)*1/cos^2x)/(tan^2x+3)^2 $
L'ho posta maggiore di zero
$ -((tan^2x-3)*1/cos^2x)/(tan^2x+3)^2 $
L'ho posta maggiore di zero
Ok, allora devi aver commesso un errore nel prosieguo. La disequazione
vale solo se
Dato che sia $1/(cos^2(x))$ che $(tan^2(x)+3)^2$ sono sempre positivi perché elevati a potenza pari, il segno dipende solo da $-(tan^2(x)-3)$. Volendo concentrarci su un solo intervallo (tanto è periodica):
che però va rinchiusa all'interno dell'intervallo $(0, pi/2)$ trovato prima ($k=0$), diventando:
Questo significa che nell'intervallo $(0,pi/3)$ la funzione sta crescendo. Viceversa risolvendo la disequazione:
si arriverà a concludere che nel resto dell'intervallo, cioè $(pi/3,pi/2)$, la funzione sta decrescendo.
Prova ora a vedere cosa succede nel caso $tan(x)<0$.
$-((tan^2(x)-3)*1/cos^2(x))/(tan^2(x)+3)^2>0$
vale solo se
$tan(x)>0$
$=>x \in (kpi, k+pi/2) \quad k in ZZ$
Dato che sia $1/(cos^2(x))$ che $(tan^2(x)+3)^2$ sono sempre positivi perché elevati a potenza pari, il segno dipende solo da $-(tan^2(x)-3)$. Volendo concentrarci su un solo intervallo (tanto è periodica):
$tan^2(x)-3<=0$
$sqrt(-3)<=tan(x)<=sqrt(3)$
$-pi/3=arctan(sqrt(-3))<=x<=arctan(sqrt(3))=pi/3$
che però va rinchiusa all'interno dell'intervallo $(0, pi/2)$ trovato prima ($k=0$), diventando:
$=>0<=x<=pi/3$
Questo significa che nell'intervallo $(0,pi/3)$ la funzione sta crescendo. Viceversa risolvendo la disequazione:
$-((tan^2(x)-3)*1/cos^2(x))/(tan^2(x)+3)^2<0$
si arriverà a concludere che nel resto dell'intervallo, cioè $(pi/3,pi/2)$, la funzione sta decrescendo.
Prova ora a vedere cosa succede nel caso $tan(x)<0$.
Grazie mille, sei stato davvero chiarissimo e molto gentile!!!
Prego, grazie a te per l'apprezzamento
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