Studio disequazione goniometrica derivata prima

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho la funzione $f(x)=sin((2x^2-1)/(x^2+1)).
Ho un problema con lo studio del segno della derivata prima, cioè di $f'(x)=(6x/(x^2+1))*cos((2x^2-1)/(x^2+1)).
Siccome il denominatore del primo fattore è sempre positivo, bisogna studiare la disequazione $6x>0$ e quella goniometrica. Studio la disequazione goniometrica:
$cos((2x^2-1)/(x^2+1))>0$ se e solo se $0+2kpi<((2x^2-1)/(x^2+1)) Facendo i conti mi esce la soluzione $-sqrt((pi+2)/(4-pi)) Inoltre, $2x^2-1>0$ se e solo se $x<-sqrt(2)/2 V x>sqrt(2)/2$. Metto poi a sistema le due soluzioni e vedo i valori in comune. E' giusto procedere così? Ve lo chiedo perchè non mi trovo con le soluzioni fornite dal mio professore. Grazie

[adaBTTLS1]

non ho ricontrollato i conti.
però si trovano i valori in comune quando si risolve un sistema. qui invece hai un prodotto di due fattori ...
dunque $f'(x)>0$ quando ${(x>0)^^(cos(*)>0)}vv{(x<0)^^(cos(*)<0)}$.
OK?

[Sk_Anonymous]

"adaBTTLS":non ho ricontrollato i conti.
però si trovano i valori in comune quando si risolve un sistema. qui invece hai un prodotto di due fattori ...
dunque $f'(x)>0$ quando ${(x>0)^^(cos(*)>0)}vv{(x<0)^^(cos(*)<0)}$.
OK?

Allora, la disequazione goniometrica da un lato è maggiore di 0 e dall'altro minore di $pi/2$, quindi faccio un sistema con due disequazioni o no?

[adaBTTLS1]

non ho capito l'ultima affermazione sulla disequazione goniometrica.
se tu in precedenza hai preso i valori in comune alle due soluzioni, vuol dire che hai risolto il primo dei due sistemi. devi unire le soluzioni dell'altro sistema.

[Sk_Anonymous]

allora, quando studio la disequazione goniometrica, pongo che, affinchè essa sia positiva, l'argomento del coseno sia compreso tra 0 e 90° e tra 270° e 360°. Quindi, ho due disequazioni, la prima in cui l'argomento del coseno è maggiore di 0, la seconda in cui è minore di 90° (naturalmente c'è la periodicità). E' giusto?

[adaBTTLS1]

io non sono entrata nel merito della soluzione della disequazione goniometrica, ma nel considerare che la derivata di cui devi studiare il segno è data dal prodotto di due termini, di cui uno algebrico e uno trascendente.
il segno del fattore algebrico è banale: tu stesso hai detto che il denominatore è sempre positivo, e il numeratore è $6x$, quindi il fattore algebrico è positivo se e solo se è $x>0$.
con la periodicità, la soluzione della disequazione goniometrica non si divide in due intervalli dello stesso giro, ma si usa scrivere che l'argomento appartiene a $(-pi/2+2kpi,+pi/2+2kpi)$.
però non è sufficiente, perché un prodotto di due fattori è positivo anche se entrambi i fattori sono negativi, cioè, nel tuo caso, se
${[x<0],[pi/2+2kpi<(2x^2-1)/(x^2+1)<3pi/2+2kpi] :}$ (che appunto è l'altro sistema).
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.

[Sk_Anonymous]

"adaBTTLS":io non sono entrata nel merito della soluzione della disequazione goniometrica, ma nel considerare che la derivata di cui devi studiare il segno è data dal prodotto di due termini, di cui uno algebrico e uno trascendente.
il segno del fattore algebrico è banale: tu stesso hai detto che il denominatore è sempre positivo, e il numeratore è $6x$, quindi il fattore algebrico è positivo se e solo se è $x>0$.
con la periodicità, la soluzione della disequazione goniometrica non si divide in due intervalli dello stesso giro, ma si usa scrivere che l'argomento appartiene a $(-pi/2+2kpi,+pi/2+2kpi)$.
però non è sufficiente, perché un prodotto di due fattori è positivo anche se entrambi i fattori sono negativi, cioè, nel tuo caso, se
${[x<0],[pi/2+2kpi<(2x^2-1)/(x^2+1)<3pi/2+2kpi] :}$ (che appunto è l'altro sistema).
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.

ok, però come faccio a studiare la disequazione dell'altro sistema? Devo dividerla in due casi e vedere quali sono le soluzioni comuni?

[adaBTTLS1]

dopo la tua ultima domanda, mi è venuto il dubbio sulla tua soluzione, quindi ho fatto i conti e viene così anche a me (mi riferisco a $-sqrt((2+pi)/(4-pi))0$). a proposito, viene così relativamente semplice perché solo $k=0$ rende compatibili le due disequazioni.
l'altro sistema (quello che ti ho scritto nell'ultimo post) si svolge nello stesso modo. prova e facci sapere. intanto lo risolvo anch'io.

[adaBTTLS1]

ti posso dire che, svolgendo l'altro sistema, anche in quel caso solo $k=0$ rende compatibili le due disequazioni sull'argomento del coseno, e la soluzione è "il contrario" della precedente, da mettere a sistema con $x<0$.
risulta pertanto $f'(x)>0 <=> ((x<-sqrt((2+pi)/(4-pi)) ) vv (0

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