Studio differenziabilità in un punto
Mi viene chiesto di studiare la differenziabilità nel punto (0,0) della funzione $|x|ln(1+y)$
Per svolgere l'esercizio ho calcolato la derivate parziali
$ \partialdx=(xln(1+y))/|x|$
$ \partialdy=|x|/(1+y)$
è corretto afferarmare che la funzione non è derivabile in (0,0) perchè la derivata parziale in x non è definita per x = 0?
Per svolgere l'esercizio ho calcolato la derivate parziali
$ \partialdx=(xln(1+y))/|x|$
$ \partialdy=|x|/(1+y)$
è corretto afferarmare che la funzione non è derivabile in (0,0) perchè la derivata parziale in x non è definita per x = 0?
Risposte
No, devi usare la definizione di derivabilità in quanto $|x|$ non è derivabile nell'origine; riprova.
La derivata parziale in x non esiste perché il limite destro e sinistro differiscono nel punto (0,0), questo è dovuto al valore assoluto al denominatore. Perché una funzione sia differenziabile in un punto non è necessario che le derivate parziali esistano? Non riesco a capire come procedere.
No, non puoi usare le regole di derivazione perché esse valgono solo nei punti in cui sai che la funzione è derivabile (questo fatto ti dovrebbe essere già noto dal calcolo differenziale in una variabile), quindi non puoi usare le regole di derivazione e farne il limite per dedurre la derivabilità perché $|x|$ non è derivabile in $0$ e tu stai studiando la derivabilità in $(0,0)$.
Per calcolare le derivate parziali in $(0,0)$ devi usare la definizione, ossia fare il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a $0$, ossia devi calcolare
$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0):=\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
Essendo un limite per $h\to0$, affinché esso esista devi studiare (come hai giustamente detto) sia la tendenza a destra che a sinistra di $h$.
Analogamente la derivata parziale rispetto ad $y$ in $(0,0)$ è data da
$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Anche qui devi studiare sia la tendenza a destra che a sinistra di $k$.
Se tali limiti esistono finiti e coincidono allora $f$ è derivabile in $(0,0)$ e le derivate parziali in $(0,0)$ sono i limiti suddetti; in tutti gli altri punti $(x,y)$ non ci sono problemi di derivabilità per $f$ e pertanto le derivate si calcolano con le regole di derivazione che hai scritto nel tuo primo messaggio.
Per calcolare le derivate parziali in $(0,0)$ devi usare la definizione, ossia fare il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a $0$, ossia devi calcolare
$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0):=\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
Essendo un limite per $h\to0$, affinché esso esista devi studiare (come hai giustamente detto) sia la tendenza a destra che a sinistra di $h$.
Analogamente la derivata parziale rispetto ad $y$ in $(0,0)$ è data da
$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Anche qui devi studiare sia la tendenza a destra che a sinistra di $k$.
Se tali limiti esistono finiti e coincidono allora $f$ è derivabile in $(0,0)$ e le derivate parziali in $(0,0)$ sono i limiti suddetti; in tutti gli altri punti $(x,y)$ non ci sono problemi di derivabilità per $f$ e pertanto le derivate si calcolano con le regole di derivazione che hai scritto nel tuo primo messaggio.
Vediamo se ho capito, (porta pazienza 
)
Prima calcolo la funzione nel punto (0,0) quindi f(0,0) = 0
Poi calcolo il limite del rapporto incrementale per x
$\lim_{h\to 0} (|h|ln(1))/h = 0$
e per y
$\lim_{k\to 0} (|0|ln(1+k))/k = 0$
Vi sto che i limiti esistono e coincidono la funzione è differenziabili in (0,0)
)Prima calcolo la funzione nel punto (0,0) quindi f(0,0) = 0
Poi calcolo il limite del rapporto incrementale per x
$\lim_{h\to 0} (|h|ln(1))/h = 0$
e per y
$\lim_{k\to 0} (|0|ln(1+k))/k = 0$
Vi sto che i limiti esistono e coincidono la funzione è differenziabili in (0,0)
Giusto: attenzione però, intendevo che i limiti destri e sinistri per $h$ e per $k$ dei rapporti incrementali rispettivi devono essere uguali e coincidenti, non devono essere coincidenti i limiti per $h\to0$ e per $k\to0$ tra loro.
Quelli possono anche essere diversi, sono i valori della derivata di $f$ rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$ nel punto $(0,0)$; intendo che deve risultare
$$\lim_{h\to0^+} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0^-} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
$$\lim_{k\to0^+} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0^-} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Mentre in generale se una funzione è derivabile è
$$\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) \ne \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)$$
Ossia in generale è
$$\lim_{h\to0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} \ne \lim_{k\to0} \frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$$
Quelli possono anche essere diversi, sono i valori della derivata di $f$ rispetto ad $x$ e rispetto ad $y$ nel punto $(0,0)$; intendo che deve risultare
$$\lim_{h\to0^+} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0^-} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
$$\lim_{k\to0^+} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0^-} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Mentre in generale se una funzione è derivabile è
$$\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,y_0) \ne \frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0)$$
Ossia in generale è
$$\lim_{h\to0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} \ne \lim_{k\to0} \frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$$
Va tutto benissimo, però bisogna studiare la differenziabilità, e non è stato fatto ancora niente in quella direzione.
@dissonance: sì, infatti avevo una mezza impressione che fosse un typo ma in effetti non ho più chiesto se effettivamente lo fosse! Rimedio subito 
Quindi Qwerty79, per la differenziabilità in $(0,0)$ devi dimostrare che
$$\lim_{(h,k) \to 0} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Oppure puoi usare qualche teorema sulla differenziabilità.
Quindi Qwerty79, per la differenziabilità in $(0,0)$ devi dimostrare che
$$\lim_{(h,k) \to 0} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$$
Oppure puoi usare qualche teorema sulla differenziabilità.
come faccio a passare dalla mia funzione iniziale al limite ?
Non ho capito il dubbio...hai la tua $f(x,y)=|x|\ln(1+y)$ e devi valutare $f(h,k)$, sottrarle $f(0,0)$, sottrarle $f_x(0,0)h$, sottrarle $f_y(0,0)k$, dividere tutto per $\sqrt{h^2+k^2}$ e far vedere che quel limite è nullo; se è nullo $f$ è differenziabile in $(0,0$).
Quindi il limite da studiare è
\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h|ln(1+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0 \]
\[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h|ln(1+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0 \]
Il limite è quello, ma perché fa zero? Scrivi dei conti, altrimenti non possiamo assicurarci che il procedimento sia corretto.
posso fare il passaggio alle coordinate polari ponendo
$h=\rhocos\theta$ e k=$h=\rhosin\theta$
a questo punto il limite diventa
$\lim_{\rho \to 0}(\rhocos\thetaln(1+\rhosin\theta))/(sqrt(\rho^2cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta))$
raccolgo $\rho^2$ al denominatore
$\lim_{\rho \to 0}(\rhocos\thetaln(1+\rhosin\theta))/(sqrt(\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)))$
$cos^2\theta+sin^2\theta = 1$
$\lim_{\rho \to 0}(\rhocos\thetaln(1+\rhosin\theta))/(sqrt(\rho^2))$
Semplifico
$\lim_{\rho \to 0}(cos\thetaln(1+\rhosin\theta)) = 0$
visto che al tendere di $\rho$ a zero $ln(1) = 0$ quindi il limite vale 0
$h=\rhocos\theta$ e k=$h=\rhosin\theta$
a questo punto il limite diventa
$\lim_{\rho \to 0}(\rhocos\thetaln(1+\rhosin\theta))/(sqrt(\rho^2cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta))$
raccolgo $\rho^2$ al denominatore
$\lim_{\rho \to 0}(\rhocos\thetaln(1+\rhosin\theta))/(sqrt(\rho^2(cos^2\theta+sin^2\theta)))$
$cos^2\theta+sin^2\theta = 1$
$\lim_{\rho \to 0}(\rhocos\thetaln(1+\rhosin\theta))/(sqrt(\rho^2))$
Semplifico
$\lim_{\rho \to 0}(cos\thetaln(1+\rhosin\theta)) = 0$
visto che al tendere di $\rho$ a zero $ln(1) = 0$ quindi il limite vale 0
Non va bene, se vuoi usare le coordinate polari devi far vedere che il limite è nullo uniformemente in $\theta$; ossia deve essere indipendente da $\theta$.
Potresti rimanere in coordinate cartesiane, considerare il modulo della funzione e osservare che $\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{h^2}}=\frac{1}{|h|}$.
Potresti rimanere in coordinate cartesiane, considerare il modulo della funzione e osservare che $\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{h^2}}=\frac{1}{|h|}$.
non riesco a capire come sei arrivato a $ \frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}} $ e poi il limite di $\frac{1}{|h|}$ non dovrebbe tendere a infinito ?
Era un'osservazione solo sulla quantità $\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}$, non sull'intera funzione; ritornando alla funzione, considerandone il modulo hai che
$$0 \leq \lim_{(h,k) \to (0,0)} \left|\frac{|h|\ln(1+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h||\ln(1+k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
Ora prova ad utilizzare la disuguaglianza che ti ho scritto nel messaggio precedente.
$$0 \leq \lim_{(h,k) \to (0,0)} \left|\frac{|h|\ln(1+k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{|h||\ln(1+k)|}{\sqrt{h^2+k^2}}$$
Ora prova ad utilizzare la disuguaglianza che ti ho scritto nel messaggio precedente.
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