Studio differenziabilità analisi 2

[Zella92]

Salve ragazzi non so come svolgere i seguenti esercizi :
- Calcola le derivate parziali rispetto x e y in ( 0,0) e studia la sua differenziabilità in RxR di x(y)^(1/3)
- Calcola nel punto (0,0) la derivata direzionale e studia la sua differenziabilità in RxR di xe^(xy)


Grazie a coloro che mi aiuteranno!!

[ciampax]

E' una applicazione delle definizioni. Se

[math]f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}[/math]

è la funzione, si definiscono le sue derivate parziali in un punto

[math](x_0,y_0)[/math]

come i limiti

[math]\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}[/math]

[math]\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}[/math]

mentre la derivata direzionale nel punto

[math](x_0,y_0)[/math]

secondo la direzione del vettore

[math]\mathbf{v}=(a,b)[/math]

è definita come

[math]\frac{\partial f}{\partial v}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}[/math]

Prova un po' e fammi sapere. Poi parliamo della differenziabilità.

[Zella92]

Ok fin qui ci sono ... ho calcolato le derivate parziali e derivata direzionale

[ciampax]

Bene: per quanto riguarda la differenziabilità, quello che è noto è quanto segue.

Sia

[math]f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math]

: essa risulta differenziabile nel punto

[math](x_0,y_0)[/math]

se

1) esistono le derivate parziali della funzione in tale punto;

2) vale il seguente limite

[math]\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(x_o+h,y_0+k)-f_x(x_0,y_0) h-f_y(x_0,y_0) k-f(x_0,y_0)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0[/math]

Come vedi devi verificare l'esistenza delle derivate nei vari punti e poi calcolare il limite. Ovviamente, per ragionare in generale, determinare dove esistano le derivate parziali è la cosa fondamentale, e questo lo vedi analizzando la forma delle derivate parziali. Prova un p' a ragionarci.