Studio di una successione
Ciao!
In un esame si chiedeva di studiare questa successione:
${\sin^{n}(x)}_{n=0}^{+oo}$
In particolare si chiedeva l'insieme di convergenza e il limite.
Quello che io ho trovato è che converge se x€[0,$pi$] e il limite è:
f(x)=0 se x€[0,$pi$] e x$!=pi/2$
f(x)=1 se x=$pi/2$
è giusto?
In un esame si chiedeva di studiare questa successione:
${\sin^{n}(x)}_{n=0}^{+oo}$
In particolare si chiedeva l'insieme di convergenza e il limite.
Quello che io ho trovato è che converge se x€[0,$pi$] e il limite è:
f(x)=0 se x€[0,$pi$] e x$!=pi/2$
f(x)=1 se x=$pi/2$
è giusto?
Risposte
Se $x$ non ha limitazioni, direi che l'insieme di convergenza è $A := {x \in \mathbb{R}: \sin(x) \ne -1\}$, e che la successione di funzioni converge alla funzione $f: A \to \mathbb{R}$ definita da
$f(x) = \{(1, "se " x \in \{\frac{\pi}{2} + 2 k \pi: k \in \mathbb{Z}\}),(0, "else"):}$
$f(x) = \{(1, "se " x \in \{\frac{\pi}{2} + 2 k \pi: k \in \mathbb{Z}\}),(0, "else"):}$
il teorema ponte dovrebbe dimostrare che manca il criterio di unicità del limite..
errore mio..effettivamente il sin deve essere > 0 per definizione dell'esponenziale e anche diverso da uno.. per sinx = 1 abbiamo una forma indeterminata..
un'ultima domanda: la convergenza in x€[0,$2pi$) è uniforme?
Io ho fatto: sup$_(x in [0,2pi])|sin^n(x)-f(x)|_oo$=|1-1|=0
quindi converge uniformemente
Io ho fatto: sup$_(x in [0,2pi])|sin^n(x)-f(x)|_oo$=|1-1|=0
quindi converge uniformemente
"parme":
errore mio..effettivamente il sin deve essere > 0 per definizione dell'esponenziale e anche diverso da uno.. per sinx = 1 abbiamo una forma indeterminata..
Per $\sin(x) = 1$ non c'è nessuna forma indeterminata. Dato che $1^n = 1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ vale $\lim_{n \to +\infty} 1^n = \lim_{n \to +\infty} 1 = 1$.
Dato che $n$ è una variabile naturale non c'è motivo di imporre la positività della base. In questo modo, quando $|\sin(x)| < 1$, vale $\lim_{n \to +\infty} \sin^n(x) = 0$.
La convergenza in $[0, 2 \pi)$ non può essere uniforme, dato che per $x = \frac{3}{2} \pi$ la successione non converge.
[OT]
Si continua con la confusione sulle potenze... Brutto segno.
[/OT]
"parme":
errore mio..effettivamente il sin deve essere > 0 per definizione dell'esponenziale e anche diverso da uno.. per sinx = 1 abbiamo una forma indeterminata..
Si continua con la confusione sulle potenze... Brutto segno.
[/OT]
"Gugo82":
[OT]
[quote="parme"]errore mio..effettivamente il sin deve essere > 0 per definizione dell'esponenziale e anche diverso da uno.. per sinx = 1 abbiamo una forma indeterminata..
Si continua con la confusione sulle potenze... Brutto segno.
[/OT][/quote]
errare è umano..poi se ti fai 6 ore di studio solo di mate in un giorno..
Non volevo affatto offenderti parme... Solo il tuo è il secondo errore del genere (cioè molto grave) sulle potenze che leggo in 24 ore sul forum (mi riferisco a questo).
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