Studio di una serie
l'esercizio è questo:dire per quali valori di a la seguente serie converge:
$ sum_(n = 1)^(+ oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) * cos(pin) $
allora il problema per me è la variabile a... non so come procedere.
io faccio così applico il criterio di Leibniz, essendo $ cos(pin) = (-1)^n $ riscrivo così:
$ sum_(n = 1)^(+ oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) * (-1)^n $
ora se
$ (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) $ è decrescente e se $ lim_(n -> +oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) = 0 $ allora la serie di partenza è convergente.
il mio problema è come fare a stabilire per quali valori di a converge? come devo ragionare per risolvere il limite con la variabile a che mi rompe le scatole?
perchè se non ci fosse la variabile a risolverei il limite $ lim_(n -> +oo) (n+n^2) / (n^(2) + n^3) $ che è uguale a 0 e quindi direi che converge.
come devo procedere in questi casi? non so se sono riuscito a farvi capire qual'è il mio problema...spero mi possiate aiutare!Grazie
$ sum_(n = 1)^(+ oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) * cos(pin) $
allora il problema per me è la variabile a... non so come procedere.
io faccio così applico il criterio di Leibniz, essendo $ cos(pin) = (-1)^n $ riscrivo così:
$ sum_(n = 1)^(+ oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) * (-1)^n $
ora se
$ (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) $ è decrescente e se $ lim_(n -> +oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) = 0 $ allora la serie di partenza è convergente.
il mio problema è come fare a stabilire per quali valori di a converge? come devo ragionare per risolvere il limite con la variabile a che mi rompe le scatole?
perchè se non ci fosse la variabile a risolverei il limite $ lim_(n -> +oo) (n+n^2) / (n^(2) + n^3) $ che è uguale a 0 e quindi direi che converge.
come devo procedere in questi casi? non so se sono riuscito a farvi capire qual'è il mio problema...spero mi possiate aiutare!Grazie
Risposte
"julio85":
[...]
ora se
$ (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) $ è decrescente e se $ lim_(n -> +oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) = 0 $ allora la serie di partenza è convergente.
il mio problema è come fare a stabilire per quali valori di a converge? come devo ragionare per risolvere il limite con la variabile a che mi rompe le scatole?
perchè se non ci fosse la variabile a risolverei il limite $ lim_(n -> +oo) (n+n^2) / (n^(2) + n^3) $ che è uguale a 0 e quindi direi che converge.
E chi te l'ha detto che lì non c'è? Nel tuo esempio $a = 1$.
Come vedi ti sei già avvicinato da solo alla soluzione... ovviamente non ha senso fare questo tipo di verifica per ogni valore di $a$ (anche perché sono infiniti
), ma dovresti distinguere almeno due casi fondamentali...P.S.: $a in RR$ ?
EDIT: ho riletto la traccia, in realtà con un po' di ragionamento sulla $a$ ci si arriva... hai qualche idea?
"julio85":
perchè se non ci fosse la variabile a risolverei il limite $ lim_(n -> +oo) (n+n^2) / (n^(2) + n^3) $ che è uguale a 0 e quindi direi che converge.
E sbaglieresti.
L'espressione che hai scritto, se semplifichi, ti accorgi che è la famosa $1/n$, che non converge.
perchè sbaglio?
scusa quando applico il criterio di leibniz si fa così:
se il termine generale an è decrscente e il limite và a 0 allora la serie di partenza converge... quindi a me viene che an è decrescente an tende a 0 quindi è la serie di partenza che converge....sbaglio a fare così?
comunque il mio problema è come impostare l'esercizio arrivato a questo punto $ lim_(n -> +oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) $
se a = 1 quel limite è 0.
però come faccio a dire quanto vale per tutti gli altri valori di a?come si impostano questo tipo di esercizi? è questo che non riesco a fare
PS si a appartiene ad R
scusa quando applico il criterio di leibniz si fa così:
se il termine generale an è decrscente e il limite và a 0 allora la serie di partenza converge... quindi a me viene che an è decrescente an tende a 0 quindi è la serie di partenza che converge....sbaglio a fare così?
comunque il mio problema è come impostare l'esercizio arrivato a questo punto $ lim_(n -> +oo) (n^a+n^2) / (n^(2a) + n^3) $
se a = 1 quel limite è 0.
però come faccio a dire quanto vale per tutti gli altri valori di a?come si impostano questo tipo di esercizi? è questo che non riesco a fare
PS si a appartiene ad R
sì hai ragione tu julio steven probabilmente non ha letto del meno uno alla n 
"julio85":
però come faccio a dire quanto vale per tutti gli altri valori di a?come si impostano questo tipo di esercizi? è questo che non riesco a fare
PS si a appartiene ad R
per $n->+oo$, $n^x + n^y ~= n^x $ per ogni $ x,y in RR$ con $x>y$.
Questo ragionamento lo puoi fare per numeratore e denominatore, dopodiché il limite diventa banale.
In sostanza sai che la domanda che devi porti è: per quali valori di $a$ quel limite è nullo? E quindi inizia a ragionare sulla variabile... per esempio cosa succede se $a$ è negativo?
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