Studio di una serie

[michele_7483]

Buongiorno, è corretto il seguente esercizio? Grazie.

Studiare la convergenza della seguente serie numerica. Se convergente, trovare $n_0$ tale che per $n \geq n_0$ la somma parziale $s_n$ approssimi la somma della serie a meno di 1/200.
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+3n}-1}{4n^2+1}$$

Svolgimento:

Osserviamo che per $n\geq 1$ risulta
$$\sqrt{1+3n}-1\leq\sqrt{1+3n}\leq \sqrt{4n}=2\sqrt{n}$$
$$4n^2+1\geq 4n^2 \rightarrow \frac{1}{4n^2+1}\leq\frac{1}{4n^2}$$
Moltiplicando membro a membro si ottiene
$$\frac{\sqrt{1+3n}-1}{4n^2+1}\leq \frac{2\sqrt{n}}{4n^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^\frac{3}{2}$$
Per il criterio del confronto, essendo convergente la serie
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^\frac{3}{2}\quad(\star)$$
lo è anche la serie in oggetto.

Inoltre, indicati con $r_n$ e $R_n$ rispettivamente i resti ennesimi della serie in oggetto e della $(\star)$, per ogni $n\geq 1$ risulta
$$r_n\leq R_n < \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$$
Quindi per trovare $n_0$ basta imporre che sia
$$\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{1}{200}$$
Da cui si ottiene
$$n>40000$$
cioè $n_0 = 40001$.

[pilloeffe]

Ciao michele_7483,

Avrei ottenuto una stima migliore della serie proposta de-razionalizzando:

$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt{1+3n}-1}{4n^2+1} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(\sqrt{1+3n}-1)(\sqrt{1+3n}+1)}{(4n^2+1)(\sqrt{1+3n}+1)} = 3 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{(4n^2+1)(\sqrt{1+3n}+1)} \le $
$\le 3 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{(4n^2)(\sqrt{3n})} = \sqrt3/4 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{3/2}} $

Pertanto si ha:

$r_n \le R_n < \frac{\sqrt3}{4}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{n}}=\frac{\sqrt3}{2 \sqrt{n}} $

Quindi per trovare $n_0$ basta imporre che sia

$ \frac{\sqrt3}{2 \sqrt{n}} < 1/200 $

$ \sqrt{n} > 100 \sqrt3 $

$ \sqrt{n} > \sqrt{30000} $

$n > 30000 $