Studio di una funzione periodica e della sua serie di Fourier

Luc13 · 2016-11-03CET17:29:42+01:00

"Salve pochi giorni f\u00e0 ho sostenuto una prova di Matematica II, uno degli argomenti principali erano le funzioni periodiche e le serie di Fourier associate, premettendo di essere abbastanza impreparato teoricamente sull'argomento mi sono appoggiato ad alcuni esercizi svolti da altri qui sul forum come esempi da cui partire nella mia preparazione.\nOra in attesa dei risultati(di oltre 300 compiti) vorrei sottoporvi il mio testo d'esame con annessa soluzione fatta da me per capire dove e come ho sbagliato e quanto la cosa possa essere grave.\n\nData una funzione regolare a tratti definita come $ g(x)-> [-pi ; pi) $ una funzione pari tale che sia $ g(x)= x-pi $ in $ [0;pi) $ :\n\n[*:3l03v21a]a)Disegnare il prolungamento periodico della funzione in $ 2pi $ .[\//*:3l03v21a][*:3l03v21a]b)La sua serie di Fourier associata[\//*:3l03v21a][*:3l03v21a]c)Studiare la convergenza della serie.[\//*:3l03v21a][*:3l03v21a]d)Scrivere la somma della serie in $ x=pi\//2 $ [\//*:3l03v21a][\//list:u:3l03v21a]\n\nsotto spoiler allego la mia soluzione con \"ragionamenti\" ammessi:\nPunto a) \nHo banalmente dedotto che la funzione cos\u00ec come mi \u00e8 data non \u00e8 definita in $ [-pi;0] $ quindi non avr\u00f2 che il grafico da $ [0;pi) $ e ripetendola periodicamente ottengo:\n[asvg]axes(\"labels\",\"grid\");\nxmin=0;\nxmax=Math.PI;\nplot(\"x-Math.PI\");[\//asvg]\nQuindi il tratto di funzione comparir\u00e0 periodicamente negli intervalli $ [0+2kpi;pi+2kpi) $ mentre negli itnervalli $[-pi,0]$ non \u00e8 definita(O almeno non mi \u00e8 dato saperlo ).\n\nPunto b)\nPer il calcolo dei coefficienti di Fourier escludo dagli intervalli di integrazione $ [-pi;0] $ in quanto li, secondo il mio ragionamento sul grafico, la funzione non \u00e8 definita:\n $ a_0=1\//(2pi) int_(0)^(pi) (x-pi)dx=1\//(2pi)[(x^2\//2)_(0)^(pi)-pi(x)_(0)^(pi)]=pi\//4-pi\//2=-pi\//4 $ \nCalcolo i coefficeinti Ak e Bk inegrando per parti:\n $ a_k=1\//pi int_(0)^(pi) (x-pi)cos(nx)dx $ \n$ a_k=1\//pi [(xsin(nx)\//n)_(0)^(pi)+(cos(nx)\//n^2)_(0)^(pi)-pi(sin(nx)\//n)_(0)^(pi)] $ \n $ a_k=1\//pi[cos(nx)\//n^2]_(0)^(pi)=1\//pi[-1\//n+1\//n ]=0 $ \n$ b_k=1\//pi int_(0)^(pi) (x-pi)sin(nx)dx $\n $ b_k=1\//pi[-(xcos(nx)\//n)_(0)^(pi)-(sin(nx)\//n^2)_(0)^(pi)+pi(cos(nx)\//n)_(0)^(pi)] $ \n$ b_k=1\//pi[pi\//n+pi\//n-pi\//n+pi\//n]=2\//n $(La funzione $sin(nx)$ \u00e8 sempre nulla in $0,pi$)\nQuindi la mia funzione associata di Fourier sar\u00e0:\n $ F(x)=-pi\//8+sum_(1)^(oo)(2\//n*sin(nx)) $\n\nPunto c)\nDa quel poco che ho capito dalla teoria la serie di Fourier converge sempre alla sua $f(x)$ dove la funzione \u00e8 continua, al contrario quando non lo \u00e8 come nel mio caso essa converge alla media del limite:\n $ f(x)=1\//2*(lim_(x->x_(0)^(+))f(x)+lim_(x->x_(0)^(-))f(x)) $\nPer cui ho calcolato il limite per $ [0;pi) $:\n$lim_(x->pi^(-))(x-pi)$ e $ lim_(x->0^(+))(x-pi)$\nottenendo:\n$ f(x)=1\//2*(-pi)=-pi\//2 $\n\nPunto d)\nQui ho incontrato le diffcolt\u00e0 maggiori, per quel che ho capito devo sostituire brutalmente il valroe datomi nella serie di Fourier e giungere ad un risultato, e poi fare delle \"considerazioni\" che ovviamente per il risultato ceh ho ottenuto non sapevo motivare; in ogni caso per $ x=pi\//2 $:\n\n$pi\//2=-pi\//8+sum_(1)^(oo) (2\//n*sin(n*pi\//2))$\n$5\//16*pi=sum_(1)^(oo) 1\//n $ \nIn pratica arrivo a dire che un serie armonica converge in somma a quel valore, peccato che sia uan serie armonica con esponente 1 che quindi diverge sempre!!!!!Mi sa che qui l'ho combinata grossa \n\nGrazie a coloro che si prenderanno al briga di rispondere a questo quesito e di correggere i miei \"orrori\" "

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Luc13

3 nov 2016, 17:29

Salve pochi giorni fà ho sostenuto una prova di Matematica II, uno degli argomenti principali erano le funzioni periodiche e le serie di Fourier associate, premettendo di essere abbastanza impreparato teoricamente sull'argomento mi sono appoggiato ad alcuni esercizi svolti da altri qui sul forum come esempi da cui partire nella mia preparazione.
Ora in attesa dei risultati(di oltre 300 compiti) vorrei sottoporvi il mio testo d'esame con annessa soluzione fatta da me per capire dove e come ho sbagliato e quanto la cosa possa essere grave.

Data una funzione regolare a tratti definita come $ g(x)-> [-pi ; pi) $ una funzione pari tale che sia $ g(x)= x-pi $ in $ [0;pi) $ :

[*:3l03v21a]a)Disegnare il prolungamento periodico della funzione in $ 2pi $ .[/*:3l03v21a][*:3l03v21a]b)La sua serie di Fourier associata[/*:3l03v21a][*:3l03v21a]c)Studiare la convergenza della serie.[/*:3l03v21a][*:3l03v21a]d)Scrivere la somma della serie in $ x=pi/2 $ [/*:3l03v21a][/list:u:3l03v21a]