Studio di una funzione logaritmica

[Orchidea]

Ciao a tutti, mi sto esercitando per matematica generale....posto la funzione: f(x)=log^2 x -log^3 x. il campo d'esistenza va bene x>0. poi si fanno i limiti per il punto trovato nel campo d'esistenza e più infinito..il prof ha scritto il primo limite con x tendente a 0+ uguale a più infinito..non mi torna ciò, perchè se ho log in base a di x e in questo caso la "a" sarebbe e (numero neperiano) essendo maggiore di 1 non può essere - inf??... e perchè il secondo ovvero lim x tende a +inf della funzione mi da come risultato -inf??non deve essere più inf perchè la base del log ovvero "e" è maggiore di 1?? e poi perchè mette f(1)=0?? poi si fa lo studio del segno e si mette la funzione >= 0 ma poi come si trasforma il log in e?? poi faccio derivata prima e seconda e poi grafico...Grazie mille

[ciampax]

Non ho capito un cavolo di quello che hai scritto. Comunque:

[math]f(x)=\log^2 x-\log^3 x=\log^2 x(1-\log x)[/math]

Il dominio è ovviamente

[math]D=(0,+\infty)[/math]

. Per i limiti

[math]\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty[/math]

infatti

[math]\log^2 x\to +\infty[/math]

(c'è il quadrato) e

[math](1-\log x)\to+\infty[/math]

(c'è il meno), dal momento che

[math]\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty[/math]

Allo stesso modo puoi dimostrare che

[math]\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty[/math]

Per il segno, studiamo la disequazione

[math]\log^2 x(1-\log x)\ge 0[/math]

Dal momento che il primo termine è un quadrato (quindi sempre positivo) basta imporre

[math]1-\log x\ge 0[/math]

da cui

[math]\log x\le 1\ \Rightarrow\ x\le e[/math]

(per togliere il logaritmo, si eleva ad entrambi i membri con base e). La funzione è quindi

positiva su

[math](0,e)[/math]

negativa su

[math](e,+\infty)[/math]

interseca l'asse delle ascisse nel punto

[math]A(e,0)[/math]

e

[math]B(1,0)[/math]

(il secondo punto si ottiene risolvendo

[math]\log^2 x=0[/math]

).

La derivata prima:

[math]f'(x)=2\log x\cdot \frac{1}{x}-3\log^2 x\cdot\frac{1}{x}=\frac{\log x}{x}(2-3\log x)[/math]

pertanto

[math]f'(x)\ge 0\ \Rightarrow\ \frac{\log x}{x}(2-3\log x)\ge 0[/math]

Poiché, sul dominio,

[math]\log x\ge 0 \Rightarrow\ x\ge 1[/math]

[math]2-3\log x\ge 0\ \Rightarrow\ \log x\le 2/3\ \Rightarrow\ 00[/math]

sempre verificata

allora

[math]f'(x)>0[/math]

su

[math](1,e^{2/3})[/math]

dove la funzione cresce
[math]f'(x)