Studio di una funzione integrale help!
Salve a tutti, la prossima settimana ho l'esonero di analisi matematica 1 ed il nostro professore ci ha avvisato che nell'esame troveremo uno studio di una funzione integrale, in attesa dell'esame ci ha dato degli esercizi su cui fare pratica.Qui mi rivolgo a voi per chiedervi un aiuto e dei chiarimenti su come svolgere questo tipo di esercizio.Tengo a precisare che il nostro professore nel trovare il grafico, dominio, ecc..... della funzione integrale, non vuole che noi lo svolgiamo, cioe l'integrale di partenza non va toccato.Passiamo all'esercizio:
F(X)= $ int_(1)^(x) ((t-2) (t-3))/((t+5)sqrt(10-t)) dx $
Per prima cosa so che devo trovare il dominio della funzione integrale percio ponendo : (t+5)(sqrt(10-t))=0 ho che la funzione non e definita in t=-5 e in t=10, quindi in -5 ed in 10 ho asintoti verticali. Fin qui tutto abbastanza chiaro.
Per definizione il dominio di F(x) è il piu grande intervallo contente 1 e percio otteniamo come dominio l'intervallo (-5,10).
Mentre il dominio di f(t) sarà (-oo ,-5)U(-5,10).
Ponendo ora Fprime (x)=((x-2)(x-3))/((x+5)sqrt(10-x)) ho che la derivata prima vale 0 in x=2,x=3, inoltre so che è crescente tra (-5,2], decrescente in [2,3], crescente [3,10), inoltre dovrebbe avere massimo in x=3 e minimo in x=2.Ponendo poi x=1 nell'estremo superiore dell'integrale ho che l'integrale in x=0 vale 0. Fino qui non ho problemi se ho fatto errori ditemelo. Comunqui in questo punto mi serve il vostro aiuto, so che adesso devo fare il limite di f(t) per x->-5 per x->10 e per x->+-oo soltanto che non ho idea di come impostarli, in quanto per x->oo ottengo limiti notevoli che non ho idea di come trasformarli utilizzando il criterio del confronto, idem per x->-5 e x->10, aiutatemi grazie
F(X)= $ int_(1)^(x) ((t-2) (t-3))/((t+5)sqrt(10-t)) dx $
Per prima cosa so che devo trovare il dominio della funzione integrale percio ponendo : (t+5)(sqrt(10-t))=0 ho che la funzione non e definita in t=-5 e in t=10, quindi in -5 ed in 10 ho asintoti verticali. Fin qui tutto abbastanza chiaro.
Per definizione il dominio di F(x) è il piu grande intervallo contente 1 e percio otteniamo come dominio l'intervallo (-5,10).
Mentre il dominio di f(t) sarà (-oo ,-5)U(-5,10).
Ponendo ora Fprime (x)=((x-2)(x-3))/((x+5)sqrt(10-x)) ho che la derivata prima vale 0 in x=2,x=3, inoltre so che è crescente tra (-5,2], decrescente in [2,3], crescente [3,10), inoltre dovrebbe avere massimo in x=3 e minimo in x=2.Ponendo poi x=1 nell'estremo superiore dell'integrale ho che l'integrale in x=0 vale 0. Fino qui non ho problemi se ho fatto errori ditemelo. Comunqui in questo punto mi serve il vostro aiuto, so che adesso devo fare il limite di f(t) per x->-5 per x->10 e per x->+-oo soltanto che non ho idea di come impostarli, in quanto per x->oo ottengo limiti notevoli che non ho idea di come trasformarli utilizzando il criterio del confronto, idem per x->-5 e x->10, aiutatemi grazie
Risposte
Ciao...guarda, io sto studiando questo argomento in questi giorni per l'esame di analisi 1, dunque non ti fidare al massimo di quello che dico!! 
Il dominio della funzione integrale, cioè di F(x) non è quello di f(x) (che in questo caso coincide con f(t) ) perchè f(x) è la derivata di F(x). Dunque è la derivata di F(x) ad essere definita in (-inf; -5)U(-5;10) e a presentare gli asintoti verticali. Dove la derivata non è definita in qualche punto, non è detto che non sia definita anche F(x), ma possono essere punti di non derivabilità tipo flessi a tg verticale, punti angolosi, ecc... per scoprirlo devi risolverlo come un integrale indefinito: poni l'integranda con limite di x->a (in questo caso prima -5 e poi successivamente 10) usi il confronto asintotico, e in base al caso capisci se l'integrale converge o diverge. Se diverge, allora f non è definita in quel punto; se converge, è continua in quel punto.
per capirci:
$ lim_(x->-5^(+-)) f(x)=lim_(x-> -5^(+-))((t−2)(t−3))/((t+5)(10−t))= ((-7)(-8))/(sqrt(5)((5-5^(+-))^1)$
Dato che l'esponente di (x+a) al denominatore è $>= 1$ (cioè è uguale ad 1) , l'integrale diverge...dunque F(x) per x->-5 tenderà a $+-$ inf
Non faccio il calcolo per x->10, ma ad occhio mi pare di vedere che risulterà della forma:
$lim_(x->10) f(x)= k/(10-10)^(1/2) $
Dato che l'esponente di 10-10 è 1/2 < 1, l'integrale converge, dunque in questo punto la funzione presenterà un punto di non derivabilità. Per scoprirne la natura è da studiare il limite di x->10 f(x) dato che è la derivata prima di F (x)
Per questo il C.E. F(x) = (-inf;-5)U(-5;+10]
Ok..non ho controllato però la monotonia!! Mi fido per pigrizia!!! xD
No...l'integrale vale 0 in x=1 (l'estremo di integrazione), dunque F(x)=0 se x=1
penso che per x->-5 e per x->10 ho risposto sopra. Per x->-inf la funzione integranda sarà asintotica
a:
$t/sqrt(|t|) = -|t|/sqrt|t|=-sqrt|t|=-oo $
CIAO!!!
"Hitenat":
F(X)= $ int_(1)^(x) ((t-2) (t-3))/((t+5)sqrt(10-t)) dx $
Per prima cosa so che devo trovare il dominio della funzione integrale percio ponendo : (t+5)(sqrt(10-t))=0 ho che la funzione non e definita in t=-5 e in t=10, quindi in -5 ed in 10 ho asintoti verticali. Fin qui tutto abbastanza chiaro. Per definizione il dominio di F(x) è il piu grande intervallo contente 1 e percio otteniamo come dominio l'intervallo (-5,10).
Mentre il dominio di f(t) sarà (-oo ,-5)U(-5,10).
Il dominio della funzione integrale, cioè di F(x) non è quello di f(x) (che in questo caso coincide con f(t) ) perchè f(x) è la derivata di F(x). Dunque è la derivata di F(x) ad essere definita in (-inf; -5)U(-5;10) e a presentare gli asintoti verticali. Dove la derivata non è definita in qualche punto, non è detto che non sia definita anche F(x), ma possono essere punti di non derivabilità tipo flessi a tg verticale, punti angolosi, ecc... per scoprirlo devi risolverlo come un integrale indefinito: poni l'integranda con limite di x->a (in questo caso prima -5 e poi successivamente 10) usi il confronto asintotico, e in base al caso capisci se l'integrale converge o diverge. Se diverge, allora f non è definita in quel punto; se converge, è continua in quel punto.
per capirci:
$ lim_(x->-5^(+-)) f(x)=lim_(x-> -5^(+-))((t−2)(t−3))/((t+5)(10−t))= ((-7)(-8))/(sqrt(5)((5-5^(+-))^1)$
Dato che l'esponente di (x+a) al denominatore è $>= 1$ (cioè è uguale ad 1) , l'integrale diverge...dunque F(x) per x->-5 tenderà a $+-$ inf
Non faccio il calcolo per x->10, ma ad occhio mi pare di vedere che risulterà della forma:
$lim_(x->10) f(x)= k/(10-10)^(1/2) $
Dato che l'esponente di 10-10 è 1/2 < 1, l'integrale converge, dunque in questo punto la funzione presenterà un punto di non derivabilità. Per scoprirne la natura è da studiare il limite di x->10 f(x) dato che è la derivata prima di F (x)
Per questo il C.E. F(x) = (-inf;-5)U(-5;+10]
"Hitenat":
Ponendo ora Fprime (x)=((x-2)(x-3))/((x+5)sqrt(10-x)) ho che la derivata prima vale 0 in x=2,x=3, inoltre so che è crescente tra (-5,2], decrescente in [2,3], crescente [3,10), inoltre dovrebbe avere massimo in x=3 e minimo in x=2.
Ok..non ho controllato però la monotonia!! Mi fido per pigrizia!!! xD
"Hitenat":
Ponendo poi x=1 nell'estremo superiore dell'integrale ho che l'integrale in x=0 vale 0.
No...l'integrale vale 0 in x=1 (l'estremo di integrazione), dunque F(x)=0 se x=1
"Hitenat":
Comunqui in questo punto mi serve il vostro aiuto, so che adesso devo fare il limite di f(t) per x->-5 per x->10 e per x->+-oo soltanto che non ho idea di come impostarli, in quanto per x->oo ottengo limiti notevoli che non ho idea di come trasformarli utilizzando il criterio del confronto, idem per x->-5 e x->10, aiutatemi grazie
penso che per x->-5 e per x->10 ho risposto sopra. Per x->-inf la funzione integranda sarà asintotica
a:
$t/sqrt(|t|) = -|t|/sqrt|t|=-sqrt|t|=-oo $
CIAO!!!
chiarissimo per quanto riguarda i limiti a -5 e 10, scusami sarò io un po tardo xD il lim_(x->oo )((t−2)(t−3))/((t+5)(10−t)) ottengo che sopra il numeratore posso sostituirlo con t^2 mentre il denominatore? forse è questo il passaggio che non ho capito poni 10-x=|t|?
"Hitenat":
chiarissimo per quanto riguarda i limiti a -5 e 10, scusami sarò io un po tardo xD il lim_(x->oo )((t−2)(t−3))/((t+5)(10−t)) ottengo che sopra il numeratore posso sostituirlo con t^2 mentre il denominatore? forse è questo il passaggio che non ho capito poni 10-x=|t|?
Allora:
$lim_(t->-oo )((t−2)(t−3))/((t+5)sqrt(10−t))~ lim_(t->-oo )((t)(t))/((t)sqrt(-t)) =lim_(t->-oo )t/(sqrt(−t))$
Da qui i passaggi che ti ho scritto prima.
Inoltre è da aggiungere il seguente commento: dato che il limite di f(x) (derivata prima di F(x) ), per x->- inf è -inf, [oppure possiamo anche vedere che l'integrale indefinito associato è divergente a - inf (anche perchè l'argomento finale è $-sqrtx = -1/(x^(-1/2)) $ e l'esponente è $<=$ 1 per x->+inf)], allora possiamo affermare che F(x) tende a -inf per x-> -inf
...non sò che italiano è...però spero che ci capisci qualcosa... xD Inoltre ti ricordo...sono uno studente che si cimenta con la matematica seria da pochi mesi...dunque prendi quello che ti dico con le pinze!!
...senti...se ti va di contraccambiare il favore, di do questo post (è un problema che ho io...):
viewtopic.php?f=36&t=127482
Magari in due ne facciamo uno buono!!! xD Hai qualche idea?
viewtopic.php?f=36&t=127482
Magari in due ne facciamo uno buono!!! xD Hai qualche idea?
Ieri mattina sono andato a ricevimento dalla mia prof di matematica, e ho scoperto di averti detto una baggianata!!! Il C.E. [F(x)] NON È (-inf;-5)U(-5;+10], ma solo l'intervallo in cui è contenuto l'estremo di integrazione noto (e dato che sono x ed 1, l'intervallo da prendere del C.E. [F(x)] è (-5;10] )
Spero di essere in tempo per i tuo esonero. In bocca al lupo!!!
Spero di essere in tempo per i tuo esonero. In bocca al lupo!!!
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