Studio di una funzione $f(x)$
$f(x) = \sqrt{|x| - |x - 1|}$
Allora quando ho le funzioni che presentano il modulo mi sembra di ricordare che sono importanti i punti in cui ciasciun modulo si annulla.
$|x|={(x,if x>=0),(-x,if x<0):}$ e poi $|x -1|={(x-1,if x>=1),(1-x,if x<1):}$
Mettendo $0$ ed $1$ su una retta e studiando il segno di questi moduli si hanno tre intervalli in cui tutti e due sono o negativi, in uno alterni di segno e nell'ultimo tutti e due positivi! Quindi è come se dovessi studiare tre funzioni in base al valore della $x$? Cioè se dovessi studiare il limite per $x->oo$ prendo il segno dei moduli da $1$ in poi? Non so se mi sono spiegato.
Poi il dominio sarebbe $\sqrt{|x| - |x - 1|} >=0$ cioè $|x| - |x - 1| >=0$ com'è che si fa non sono mica tanto sicuro sullo svolgimento! Devo sfruttare quelle cose che ho detto prima vero? Cioè bisogna farlo in teoria per tre funzioni? Tipo per $x<0$ abbiamo che tutti e due i moduli sono negativi quindi $-x - (1-x) >=0$ e così via? però verrebbe $-1 >=0$ in questo caso! Un bel chiarimento non mi farebbe male!
Grazie
Allora quando ho le funzioni che presentano il modulo mi sembra di ricordare che sono importanti i punti in cui ciasciun modulo si annulla.
$|x|={(x,if x>=0),(-x,if x<0):}$ e poi $|x -1|={(x-1,if x>=1),(1-x,if x<1):}$
Mettendo $0$ ed $1$ su una retta e studiando il segno di questi moduli si hanno tre intervalli in cui tutti e due sono o negativi, in uno alterni di segno e nell'ultimo tutti e due positivi! Quindi è come se dovessi studiare tre funzioni in base al valore della $x$? Cioè se dovessi studiare il limite per $x->oo$ prendo il segno dei moduli da $1$ in poi? Non so se mi sono spiegato.
Poi il dominio sarebbe $\sqrt{|x| - |x - 1|} >=0$ cioè $|x| - |x - 1| >=0$ com'è che si fa non sono mica tanto sicuro sullo svolgimento! Devo sfruttare quelle cose che ho detto prima vero? Cioè bisogna farlo in teoria per tre funzioni? Tipo per $x<0$ abbiamo che tutti e due i moduli sono negativi quindi $-x - (1-x) >=0$ e così via? però verrebbe $-1 >=0$ in questo caso! Un bel chiarimento non mi farebbe male!
Grazie
Risposte
Si, certamente devi suddividere l'intervallo di continuità in sottointervalli a seconda di come sono definiti i moduli, sfruttando il fatto che una qualsiasi funzione la puoi scomporre in funzione definita a tratti sul suo dominio di esistenza.
Quindi la prima cosa che ti consiglio di fare è proprio quella di definire tre funzioni differenti.
Dopodichè:
Dominio: studi i domini delle tre funzioni separatamente, RISTRETTI al loro intervallo di definizione (il sottointervallo che hai imposto tu per intenderci). Il dominio di $f(x)$ non sarà altro che l'unione dei tre domini. Avrai quindi tre differenti disequazioni e se ti viene una disequazione del tipo $-1\>=0$ semplicemente non esiste alcuna $x$ che soddisfa la suddetta, e quindi non ci sono punti di discontinuità (ovvero il dominio della funzione ristretta è tutto il sottointervallo). Importante ricordati sempre che come definizione equivalente di continuità in $x_{0}$, deve esistere $\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ (e quindi essere unico), da cui ne hai che per verificare la continuità nel punto in cui si "toccano" due sottointervalli, devi verificare che le immagini di quel punto valutate nelle relative due funzioni coincidano.
Per considerare il limite per $x\to\infty$ ovviamente lo studierai sulla funzione definita sul sottointervallo illimitato a destra.
Stesso discorso per le derivate, deriverai le tre funzioni ristrette ai sottointervalli e ne studierai andamento e continuità sullo stesso sottointerallo, ripetendo lo stesso ragionamento che hai adottato per $f(x)$.
Nel tuo caso avrai una funzione definita in questo modo:
$f(x)=\{(\sqrt(1-2x)\quad if x<0),(1\quad if 0\<=x<1),(\sqrt(2x-1)\quad if 1\<=x):}$
Quindi la prima cosa che ti consiglio di fare è proprio quella di definire tre funzioni differenti.
Dopodichè:
Dominio: studi i domini delle tre funzioni separatamente, RISTRETTI al loro intervallo di definizione (il sottointervallo che hai imposto tu per intenderci). Il dominio di $f(x)$ non sarà altro che l'unione dei tre domini. Avrai quindi tre differenti disequazioni e se ti viene una disequazione del tipo $-1\>=0$ semplicemente non esiste alcuna $x$ che soddisfa la suddetta, e quindi non ci sono punti di discontinuità (ovvero il dominio della funzione ristretta è tutto il sottointervallo). Importante ricordati sempre che come definizione equivalente di continuità in $x_{0}$, deve esistere $\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ (e quindi essere unico), da cui ne hai che per verificare la continuità nel punto in cui si "toccano" due sottointervalli, devi verificare che le immagini di quel punto valutate nelle relative due funzioni coincidano.
Per considerare il limite per $x\to\infty$ ovviamente lo studierai sulla funzione definita sul sottointervallo illimitato a destra.
Stesso discorso per le derivate, deriverai le tre funzioni ristrette ai sottointervalli e ne studierai andamento e continuità sullo stesso sottointerallo, ripetendo lo stesso ragionamento che hai adottato per $f(x)$.
Nel tuo caso avrai una funzione definita in questo modo:
$f(x)=\{(\sqrt(1-2x)\quad if x<0),(1\quad if 0\<=x<1),(\sqrt(2x-1)\quad if 1\<=x):}$
Grazie per la risposta! Una cosa, mi potresti spiegare meglio perchè se mi viene una cosa impossibile nell'intervallo ristrettto, non ci sarebbero punti di discontinuità in quell'intervallo? 
Ad esempio la $f(x)$ per $x<0$ ha tutti e due o moduli negativi giusto? non sarebbe $f(x) = \sqrt{-(x) - (1 - x)} ?$
Ad esempio la $f(x)$ per $x<0$ ha tutti e due o moduli negativi giusto? non sarebbe $f(x) = \sqrt{-(x) - (1 - x)} ?$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo