Studio di una funzione con valori assoluti elevati al cubo
la funzione è:
$f(x)=-3*abs(x)+2*arctan(x)$
dovendo fare il limite per $f(x)-x$ con x che tende a +infinito ed a -infinito per vedere se ci sono asintoti obliqui mi sono imbattuto in una forma indeterminata del tipo infinito - infinito che in questo caso non riesco a risolvere
$-3*|x|+2*arctan(x)>0$ per vedere dove il grafico è sopra o sotto l'asse delle x non riesco a risolverlo con precisione, mi risulta solo che nel punto (0,0) passa per il centro
le sue derivate sono:
$f'(x)=-3*x/|x|+2/(1+x^2)$
da qui risulta che f(x) sia sempre crescente
$f''(x)=-3*(|x|^2-x^2)/|x|^3-4*x/(1+x^2)^2$
sviluppando le moltiplicazioni che ci sono da fare per studiare la concavità nel caso della derivata seconda sia arriva a disequazionicon valori assoluti elevati al cubo ed al quadrato, come posso risolverli? con il solito metodo di risoluzione delle equazioni con valori assoluti non so come procedere in quanto i valori assoluti sono elevati a potenza, come posso fare? c'è qualche metodo per semplificare?
$f(x)=-3*abs(x)+2*arctan(x)$
dovendo fare il limite per $f(x)-x$ con x che tende a +infinito ed a -infinito per vedere se ci sono asintoti obliqui mi sono imbattuto in una forma indeterminata del tipo infinito - infinito che in questo caso non riesco a risolvere
$-3*|x|+2*arctan(x)>0$ per vedere dove il grafico è sopra o sotto l'asse delle x non riesco a risolverlo con precisione, mi risulta solo che nel punto (0,0) passa per il centro
le sue derivate sono:
$f'(x)=-3*x/|x|+2/(1+x^2)$
da qui risulta che f(x) sia sempre crescente
$f''(x)=-3*(|x|^2-x^2)/|x|^3-4*x/(1+x^2)^2$
sviluppando le moltiplicazioni che ci sono da fare per studiare la concavità nel caso della derivata seconda sia arriva a disequazionicon valori assoluti elevati al cubo ed al quadrato, come posso risolverli? con il solito metodo di risoluzione delle equazioni con valori assoluti non so come procedere in quanto i valori assoluti sono elevati a potenza, come posso fare? c'è qualche metodo per semplificare?
Risposte
Il coefficiente angolare $m $ dell'asintoto obliquo , quando $x rarr +oo $ vale : $-3 $ ; quando $ x rarr +oo$ vale invece $3$.
Non è poi difficile calcolare nei due casi $ q $ , l'intercetta sull'asse y .
Non è poi difficile calcolare nei due casi $ q $ , l'intercetta sull'asse y .
"Camillo":
Il coefficiente angolare $m $ dell'asintoto obliquo , quando $x rarr +oo $ vale : $-3 $ ; quando $ x rarr +oo$ vale invece $3$.
Non è poi difficile calcolare nei due casi $ q $ , l'intercetta sull'asse y .
grazie, come hai fatto a risolvere il limite? hai raccolto x a fattor comune e hai sostituito qualche limite notevole?
mentre per lo studio della concavità con la derivata seconda come mi consigli di gestire i valori assoluti elevati a potenza?
grazie
1) $|x| = x $ per $ x > 0 $
2) $|x| = -x $ per $x <0 $.
quindi la funzione ha due rappresentazioni analitiche diverse , una valida per $x > 0 $ e l'altra per $x < 0 $.
1) $y_1 = -3x+2*arctg x $ , cerco l'asintoto obliquo : $m_1 = lim_(x rarr +oo) = (-3x+2*arctgx)/x = -3 $
$q_1 = lim_(x rarr +oo) -3x+2*arctgx +3x = lim_(x rarr +oo) 2*arctgx = pi$.
L'asintoto ha quindi equazione $y = -3x+pi$ per $ x rarr +oo$.
2) $y_2 = 3x+2*arctgx $ ; con calcoli analoghi trovi che l'asintoto , per $x rarr -oo $ ha equazione : $y = 3x-pi$.
Adesso puoi calcolare le derivate prime e seconde della funzione sempre suddivisa in due differenti rappresentazioni analitiche.
1) $y_1' < 0 $ sempre : funzione decrescente ; $y_1'' <0 $ sempre.
2)$ y_2' > 0 $ sempre , quindi funzione crescente; $y_2'' > 0 $ sempre.
2) $|x| = -x $ per $x <0 $.
quindi la funzione ha due rappresentazioni analitiche diverse , una valida per $x > 0 $ e l'altra per $x < 0 $.
1) $y_1 = -3x+2*arctg x $ , cerco l'asintoto obliquo : $m_1 = lim_(x rarr +oo) = (-3x+2*arctgx)/x = -3 $
$q_1 = lim_(x rarr +oo) -3x+2*arctgx +3x = lim_(x rarr +oo) 2*arctgx = pi$.
L'asintoto ha quindi equazione $y = -3x+pi$ per $ x rarr +oo$.
2) $y_2 = 3x+2*arctgx $ ; con calcoli analoghi trovi che l'asintoto , per $x rarr -oo $ ha equazione : $y = 3x-pi$.
Adesso puoi calcolare le derivate prime e seconde della funzione sempre suddivisa in due differenti rappresentazioni analitiche.
1) $y_1' < 0 $ sempre : funzione decrescente ; $y_1'' <0 $ sempre.
2)$ y_2' > 0 $ sempre , quindi funzione crescente; $y_2'' > 0 $ sempre.
Approfitto del topic per chiedere una cosa su uno studio di funzione:
Sto studiando questa:
${((x-1)^(1/4)*log^3(x-1) , AAx!=1),(0 , x=1):}$
Volevo sapere se per questa funzione ha senso calcolare il limite per $xto1^+$
Grazie
Sto studiando questa:
${((x-1)^(1/4)*log^3(x-1) , AAx!=1),(0 , x=1):}$
Volevo sapere se per questa funzione ha senso calcolare il limite per $xto1^+$
Grazie
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