Studio di una funzione con valore assoluto
Ciao a tutti ragazzi,non ho ben capito come agire quando una funzione presenta un valore assoluto..Il dominio che andrò a calcolare sarà quello della funzione data oppure quello che andrò a vedere una volta "aperto" il valore assoluto e quindi cambiato la funzione?
$y= (|x-1|)/ ( log|x-1|) $
$y= (|x-1|)/ ( log|x-1|) $
Risposte
Calcolando il dominio della funzione di partenza sicuramente non sbagli.
In realtà penso (ma non sono sicuro al 100%) che il dominio della funzione di partenza coincida poi con quello delle funzioni ottenute spezzando il valore assoluto e considerando i vari sistemi, ma comunque ti conviene determinarlo dalla funzione di partenza visto che risulta più veloce.
Nel tuo caso, ad esempio, dovrai calcolare il dominio tenendo conto di:
- Condizioni del denominatore
- Condizioni dell'argomento del logaritmo (tenendo conto del valore assoluto)
In realtà penso (ma non sono sicuro al 100%) che il dominio della funzione di partenza coincida poi con quello delle funzioni ottenute spezzando il valore assoluto e considerando i vari sistemi, ma comunque ti conviene determinarlo dalla funzione di partenza visto che risulta più veloce.
Nel tuo caso, ad esempio, dovrai calcolare il dominio tenendo conto di:
- Condizioni del denominatore
- Condizioni dell'argomento del logaritmo (tenendo conto del valore assoluto)
Il dominio della funzione è quello della funzione di partenza
$|x-1| !=0$ e $ln|x-1| !=0$, ovviamente se spezzi la funzione per sciogliere i moduli, dovrai calcolare il dominio di ciascun pezzo. L'unione dei domini dei vari pezzi coincide con il dominio della funzione di partenza.
In questo caso è abbastanza semplice osservare che la funzione è simmetrica rispetto alla retta $x=1$, quindi basta studiarla per $x>1$ e poi, per la parte $x<1$, basta tracciare la simmetrica.
$|x-1| !=0$ e $ln|x-1| !=0$, ovviamente se spezzi la funzione per sciogliere i moduli, dovrai calcolare il dominio di ciascun pezzo. L'unione dei domini dei vari pezzi coincide con il dominio della funzione di partenza.
In questo caso è abbastanza semplice osservare che la funzione è simmetrica rispetto alla retta $x=1$, quindi basta studiarla per $x>1$ e poi, per la parte $x<1$, basta tracciare la simmetrica.
Per definizione, bisogna sempre spezzare il valore assoluto e fare tutte le considerazioni e gli studi della funzione per entrambi.
"justachemical":
Per definizione, bisogna sempre spezzare il valore assoluto e ....
Libero di avere una cieca fiducia nel manuale delle giovani marmotte.
Libero di propagandarne, come farebbe un imbonitore da fiera, le sue, opinabili, qualità.
Però non è lecito modificare a tuo piacimento il significato delle parole: per definizione il pincopallo di una funzione deve essere individuato sulla funzione. Che poi coincida con quello di qualcos'altro è, certamente possibile, ma va verificato con cura.
L'approccio proposto da @melia per la funzione esaminata, mi pare, nel contempo elegante ed efficace.
Ciao
B.
"orsoulx":
[quote="justachemical"]Per definizione, bisogna sempre spezzare il valore assoluto e ....
Libero di avere una cieca fiducia nel manuale delle giovani marmotte.
Libero di propagandarne, come farebbe un imbonitore da fiera, le sue, opinabili, qualità.
Però non è lecito modificare a tuo piacimento il significato delle parole: per definizione il pincopallo di una funzione deve essere individuato sulla funzione. Che poi coincida con quello di qualcos'altro è, certamente possibile, ma va verificato con cura.
L'approccio proposto da @melia per la funzione esaminata, mi pare, nel contempo elegante ed efficace.
Ciao
B.[/quote]
Sei totalmente fuori luogo. Le simmetrie si studiano sempre, in ogni funzione, se vuoi un metodo costruito sull'affidabilità non puoi che rivolgerti a quello scientifico ergo partire dalla definizione. Ogni considerazione è, poi, secondaria se non superflua.
"justachemical":
[quote="orsoulx"][quote="justachemical"]Per definizione, bisogna sempre spezzare il valore assoluto e ....
Libero di avere una cieca fiducia nel manuale delle giovani marmotte.
Libero di propagandarne, come farebbe un imbonitore da fiera, le sue, opinabili, qualità.
Però non è lecito modificare a tuo piacimento il significato delle parole: per definizione il pincopallo di una funzione deve essere individuato sulla funzione. Che poi coincida con quello di qualcos'altro è, certamente possibile, ma va verificato con cura.
L'approccio proposto da @melia per la funzione esaminata, mi pare, nel contempo elegante ed efficace.
Ciao
B.[/quote]
Sei totalmente fuori luogo. Le simmetrie si studiano sempre, in ogni funzione, se vuoi un metodo costruito sull'affidabilità non puoi che rivolgerti a quello scientifico ergo partire dalla definizione. Ogni considerazione è, poi, secondaria se non superflua.[/quote]
Il problema di fondo, che non consideri(secondo me), è che per definizione il valore assoluto di pincopalla è positivo o nullo che non credo mi imponga qualcosa.
Cioè io so così, semplicemente, che la quantità sarà sempre positiva, ma non è che mi sta imponendo di spezzare(che poi si dice sciogliere il valore assoluto)
Poi possiamo dire che la funzione
$f(x)=|x|$ si può far coincidere a due funzioni equivalenti.
$|x|=x$ se $xgeq0$
$|x|=-x$ se $x<0$
Quindi sfrutto la definizione per trovarne le sue conseguenze.
Infatti spezzare la funzione valore assoluto in due intervalli è una conseguenza della definizione di valore assoluto.
Poi se vuoi stare qui a filosofeggiare sul tuo personalissimo concetto di metodo scientifico, allora parliamo di quello.
"justachemical":
Ogni considerazione è, poi, secondaria se non superflua.
Come già detto: libero di essere masochista quanto ti pare. Nella malaugurata ipotesi che tu ti ritrovi ad insegnare, spero solo non pretenderai lo stesso dai tuoi alunni.
Ciao
B.
"justachemical":
Per definizione, bisogna sempre spezzare il valore assoluto e fare tutte le considerazioni e gli studi della funzione per entrambi.
quindi se devo calcolare la derivata di una funzione in modulo es
$d/(dx)|x|$
e faccio così $d/(dx)|x|=(|x|)/x$ sbaglio perchè non "spezzo" il valore assoluto in base alla definizione?
no sai....perché ieri per risolvere questo integrale in maniera elegante ci ho perso tutta la sera
$int1/(xsqrt(x^2-a^2))dx=int1/(x|x|sqrt(1-|a/x|^2))dx=int1/(x|x|)cdotdx/(sqrt(1-|a/x|^2))=$
$=-1/aint-a/(x|x|)cdotdx/(sqrt(1-|a/x|^2))=-1/aint1/sqrt(1-|a/x|^2)d|a/x|={{: ( -1/aarcsen|a/x|+C ),( 1/aarccos|a/x|+C ) :}$
...e ora scopro che, in base alla definizione, tutto ciò non va bene! azz a saperlo prima invece che perdere tempo su queste cose guardavo Italia's got talent
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
....potresti gentilmente illuminarmi?grazie
Allora ragazzi,ritornando alla discussione del dominio della mia funzione,è la seguente?
$y= (|x-1|)/ ( log|x-1|) $
Dominio : $ log|x-1|≠ 0 $ ---> $x≠ 2$
$|x-1|>0$ Per definizione il valore assoluto è sempre una quantità positiva o al massimo uguale a 0 pertanto: $x≠ 1$
Quindi il dominio della funzione sarà: $x≠ 2$ u $x≠ 1$
Ora vado ad aprire il valore assoluto:
$|x-1| = (x-1 $ se $ x≥1 $ e $1-x $ se $ x<1$ )
La funzione di partenza sarà quindi:
f1(X) = $y= (x-1)/ ( log x-1) $ se $x≥1$ -----> $x>1$
f2(X) = $y= (-x-1)/ ( log -x-1) $ se $x<1$ -----> $x<1$
Tutto giusto?
$y= (|x-1|)/ ( log|x-1|) $
Dominio : $ log|x-1|≠ 0 $ ---> $x≠ 2$
$|x-1|>0$ Per definizione il valore assoluto è sempre una quantità positiva o al massimo uguale a 0 pertanto: $x≠ 1$
Quindi il dominio della funzione sarà: $x≠ 2$ u $x≠ 1$
Ora vado ad aprire il valore assoluto:
$|x-1| = (x-1 $ se $ x≥1 $ e $1-x $ se $ x<1$ )
La funzione di partenza sarà quindi:
f1(X) = $y= (x-1)/ ( log x-1) $ se $x≥1$ -----> $x>1$
f2(X) = $y= (-x-1)/ ( log -x-1) $ se $x<1$ -----> $x<1$
Tutto giusto?
"anto_zoolander":
Quindi sfrutto la definizione per trovarne le sue conseguenze.
Infatti spezzare la funzione valore assoluto in due intervalli è una conseguenza della definizione di valore assoluto.
Non mi sembra di aver detto altro.
Poi se vuoi stare qui a filosofeggiare sul tuo personalissimo concetto di metodo scientifico, allora parliamo di quello.
Sei partito bene ma finisci in modo imbarazzante.
[quote="orsoulx"]Come già detto: libero di essere masochista quanto ti pare. Nella malaugurata ipotesi che tu ti ritrovi ad insegnare, spero solo non pretenderai lo stesso dai tuoi alunni.
Ciao
B.
Già svolgo ripetizioni private, ma non ti preoccupare di loro, ora hanno un metodo di studio, la mediocrità la lasciamo a te, grazie.
"tommik":
[quote="justachemical"]Per definizione, bisogna sempre spezzare il valore assoluto e fare tutte le considerazioni e gli studi della funzione per entrambi.
quindi se devo calcolare la derivata di una funzione in modulo es
$d/(dx)|x|$
e faccio così $d/(dx)|x|=(|x|)/x$ sbaglio perchè non "spezzo" il valore assoluto in base alla definizione?[/quote][/quote]
$d/(dx)|x|=x/|x|$
"darakum":
Tutto giusto?
Non proprio.
$ | x-1| = 1 \rightarrow x-1=+-1 $
e la sostituzione per ottenere $ f_2(x) $, l'hai scritta correttamente, ma ti sei distratto nell'applicarla, dovrebbe risultare:
$ f_2(x)=(1-x)/log(1-x) $. (questi sono i vantaggi del metodo del piccolo chimico).
Ciao
B.
"orsoulx":
(questi sono i vantaggi del metodo del piccolo chimico).
"orsoulx":
[quote="darakum"]Tutto giusto?
Non proprio.
$ | x-1| = 1 \rightarrow x-1=+-1 $
e la sostituzione per ottenere $ f_2(x) $, l'hai scritta correttamente, ma ti sei distratto nell'applicarla, dovrebbe risultare:
$ f_2(x)=(1-x)/log(1-x) $. (questi sono i vantaggi del metodo del piccolo chimico).
Ciao
B.[/quote]
Perchè x diverso da +- 1 ??
$|x-1| !=1$ diventa
$x-1 !=1$ se $x>=1$ e $1-x !=1$ se $x<1$
le due disuguaglianze possono essere viste insieme ponendo semplicemente $x-1 != +-1$
$x-1 !=1$ se $x>=1$ e $1-x !=1$ se $x<1$
le due disuguaglianze possono essere viste insieme ponendo semplicemente $x-1 != +-1$
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