Studio di una funzione con 2 valori assoluti

[Erikalvo]

Rieccomi xD
la funzione in questione è
\( |\frac{x-3}{x-1}|*e^{|x-1|} \)
il dominio è \( (-\infty,1) \cup (1,+\infty) \)
Ora... avendo a che fare con 2 valori assoluti, come definisco la \( f(x) \) ?
C'è una regola generale?

[Erikalvo]

Sempre chiarissimo
Per quanto riguarda l'intersezione con l'asse x devo valutare la forma estesa?

[Erikalvo]

Avevo già fatto l'intersezione con l'asse \( y \) prendendo in considerazione la funzione con i valori assoluti.Ho trovato il punto di coordinate \( (0,3e) \) .
Per il punto di intersezione con l'asse \( x \) effettivamente non ci avevo fatto caso! conviene anche qui prendere la \( f(x)=|\frac{x-3}{x-1}| e^{|x-1|} \) perchè si tratta del prodotto di un valore assoluto (quantità non negativa) e di un'esponenziale con valore assoluto che a maggior ragione è positivo. Dunque (non vorrei dire una fesseria XD) secondo me la \( f(x) \) non può mai essere uguale a zero, allora non ci sono intersezioni con l'asse \( y \) !
Per quanto riguarda il segno della funzione \( f(x)\ge0 \) è sempre verificata \( \forall x\in R \) , allora la funzione è sempre positiva.
Invece come mi comporto per la derivata prima e la derivata seconda?

[Erikalvo]

Come scritto sopra occorre prendere in considerazione la "forma estesa" di f e derivare tutti e tre i tratti.
A quel punto sarà sufficiente studiare la positività di ogni singolo tratto.

Ok! quindi: ho calcolato le derivate prime
\( f'(x)= \begin{cases} \frac{-e^{1-x}(x^2-4x+1)}{(x-1)^2}\,{} & per \, x < 1 \\ \; \\ \frac{-e^{x-1}(x^2-4x+5)}{(x-1)^2}\,{} & per \, 1
comincio col primo caso cioè per \( x<1 \)
pongo \( f'(x)=0 \)
e ottengo che l'unico candidato ad essere punto di massimo o minimo è \( 2-\sqrt[]{3} \)
pongo \( f'(x)\ge0 \)
al numeratore ho \( e^{1-x}\leq 0 \) impossibile
\( x\leq 2-\sqrt[]{3}\vee x\ge2+\sqrt[]{3} \)
al denominatore \( \forall x\in R-(1) \)
facendo il prodotto dei segni ho che \( 2-\sqrt[]{3} \) è punto di minimo relativo perchè prima la funzione decresce poi cresce (non è assoluto perchè la funzione a \( -\infty \) e \( +\infty \) è illimitata)
Inoltre tenendo sempre presente che sono nel caso \( x<1 \) so anche, col prodotto dei segni, che la funzione decresce per \( x\leq 2-\sqrt[]{3} \) e cresce per \( 2-\sqrt[]{3}\leq x<1 \)
E' corretto fin qui?

[Erikalvo]

E' assurdo studiare le derivate seconde o.o sono calcoli immensi

[Erikalvo]

Premessa importante: lo studio dei limiti (ossia degli asintoti) lo hai fatto? Se sì, cosa ne hai concluso?

si lo avevo fatto e cioè:
\( \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x-3}{x-1}e^{1-x}=+\infty \)
m però viene infinito quindi niente asintoti obliqui
\( \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x-3}{x-1}e^{x-1}=+\infty \)
neanche qui c'è asintoto obliquo
\( \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x-3}{x-1}e^{1-x}=+\infty \)
\( \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{3-x}{x-1}e^{x-1}=+\infty \)
asintoto verticale in x=1

Dunque, in questo caso, che possiamo dire del punto x=3? Di che tipo è? :-)

ho calcolato i limiti dalla destra e dalla sinista di \( f'(x) \) per \( x\rightarrow 3 \) e mi vengono entrambi \( \frac{e^2}{2} \) , quindi 3 non è un punto di non derivabilità...

Potresti specificare a che limiti fai riferimento? Chiedo questo perché ho il sospetto di non essere stato molto chiaro a tal riguardo nel precedente studio di funzione

Si scusami hai ragione xD comunque mi riferisco ai limiti per \( x\rightarrow \pm \infty \) che sono entrambi infiniti dunque la funzione non è limitata. Per esserlo i limiti avrebbero dovuto dare un valore finito (asintoto orizzontale)
Avevo anche studiato le altre derivate prime, in particolare:
Per \( 11 \)
Per \( x\ge1 \) stessa cosa. Cioè so il comportamento della funzione per \( x<1 \) e \( x>1 \) ma non per \( x\ge1 \)
Giusto?

[Erikalvo]

Premessa importante: lo studio dei limiti (ossia degli asintoti) lo hai fatto? Se sì, cosa ne hai concluso?

si lo avevo fatto e cioè:
\( \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x-3}{x-1}e^{1-x}=+\infty \)
m però viene infinito quindi niente asintoti obliqui
\( \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x-3}{x-1}e^{x-1}=+\infty \)
neanche qui c'è asintoto obliquo
\( \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{x-3}{x-1}e^{1-x}=+\infty \)
\( \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{3-x}{x-1}e^{x-1}=+\infty \)
asintoto verticale in x=1

Dunque, in questo caso, che possiamo dire del punto x=3? Di che tipo è? :-)

ho calcolato i limiti dalla destra e dalla sinista di \( f'(x) \) per \( x\rightarrow 3 \) e mi vengono entrambi \( \frac{e^2}{2} \) , quindi 3 non è un punto di non derivabilità...

Potresti specificare a che limiti fai riferimento? Chiedo questo perché ho il sospetto di non essere stato molto chiaro a tal riguardo nel precedente studio di funzione

Si scusami hai ragione xD comunque mi riferisco ai limiti per \( x\rightarrow \pm \infty \) che sono entrambi infiniti dunque la funzione non è limitata. Per esserlo i limiti avrebbero dovuto dare un valore finito (asintoto orizzontale)
Avevo anche studiato le altre derivate prime, in particolare:
Per \( 11 \)
Per \( x\ge1 \) stessa cosa. Cioè so il comportamento della funzione per \( x<1 \) e \( x>1 \) ma non per \( x\ge1 \)
Giusto?

[Erikalvo]

hai perso per strada un fondamentale segno meno ...

da dove si prende il segno meno? si considera la derivata per \( 1

Trattasi, dunque, di un punto di non derivabilità: precisamente di un punto angoloso.

Quindi bisogna togliere l'uguale da \( x\ge3 \) ?

quindi per 1

adesso si

p.s. chiedo scusa per l'interrogatorio all'inizio del post, ma mi serve per capire

[Erikalvo]

grazie ancora