Studio di una funzione! Aiuto!
Devo effettuare lo studio di questa funzione: \(\displaystyle y= e^{x^3-3x^2}\).
Sono riuscito a studiarla fino alla derivata seconda, infatti mi manca solo studiare la concavità e la convessità. Il problema è che la derivata seconda è un polinomio di quarto grado e quando la pongo maggiore di zero non riesco a risolvere la disuguaglianza in questione, ovvero; \(\displaystyle 3e^{x^3-3x^2}(3x^4-12x^3+12x^2+2x-2)>0\) che diventa \(\displaystyle 3x^4-12x^3+12x^2+2x-2>0\). Qualcuno sa risiolverla?
Sono riuscito a studiarla fino alla derivata seconda, infatti mi manca solo studiare la concavità e la convessità. Il problema è che la derivata seconda è un polinomio di quarto grado e quando la pongo maggiore di zero non riesco a risolvere la disuguaglianza in questione, ovvero; \(\displaystyle 3e^{x^3-3x^2}(3x^4-12x^3+12x^2+2x-2)>0\) che diventa \(\displaystyle 3x^4-12x^3+12x^2+2x-2>0\). Qualcuno sa risiolverla?
Risposte
Ciao Gh3rra,
Benvenuto sul forum!
L'equazione $3x^4-12x^3+12x^2+2x-2=0 $ ha $4$ soluzioni di cui solo due sono reali (le altre due sono complesse coniugate):
$x_1 ~~ - 0,40248 $
$x_2 ~~ 0,39564 $
Quindi $3x^4-12x^3+12x^2+2x-2 > 0 $ per $x < x_1 \vv x > x_2 $
Benvenuto sul forum!
L'equazione $3x^4-12x^3+12x^2+2x-2=0 $ ha $4$ soluzioni di cui solo due sono reali (le altre due sono complesse coniugate):
$x_1 ~~ - 0,40248 $
$x_2 ~~ 0,39564 $
Quindi $3x^4-12x^3+12x^2+2x-2 > 0 $ per $x < x_1 \vv x > x_2 $
Perfetto, grazie per la risposta. Ma come ottengo questi risultati se mi comparisse una funzione del genere all'esame?
Approssimando.
In particolare, basta fare uno studio "di massima" a parte della funzione $g(x) = 3x^4 - 12 x^3 + 12 x^2 + 2x - 2$ (limiti, continuità, monotonia ed estremi usualmente bastano) per tracciare un grafico e dedurre le informazioni che ti servono. Può prendere un bel po' di tempo, ma va così.
In particolare, basta fare uno studio "di massima" a parte della funzione $g(x) = 3x^4 - 12 x^3 + 12 x^2 + 2x - 2$ (limiti, continuità, monotonia ed estremi usualmente bastano) per tracciare un grafico e dedurre le informazioni che ti servono. Può prendere un bel po' di tempo, ma va così.
"Gh3rra":
Ma come ottengo questi risultati se mi comparisse una funzione del genere all'esame?
A completamento di quanto già scritto da gugo82, preciso che calcolare la derivata seconda (ammesso che la si riesca a calcolare e a studiare in tempi ragionevoli...) di una funzione non è poi strettamente necessario per avere un'idea dell'andamento di massima del grafico della funzione stessa: tipicamente bastano le eventuali simmetrie (se ce ne sono), le intersezioni con gli assi cartesiani, la positività, i limiti agli estremi del dominio ed eventualmente lo studio del segno della derivata prima per avere un'idea dell'andamento di massima del grafico della funzione proposta... Diciamo che se il tuo professore è tendenzialmente ragionevole, all'esame ti chiederà di calcolare e studiare la derivata seconda della funzione proposta solo se il suo calcolo ed il suo studio sono fattibili in tempi ragionevoli...
Grazie mille a tutti per le risposte
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