Studio di una funzione
Ciao a tutti ragazzi,
sto trovando difficoltà con lo studio della seguente funzione.
Più che altro è un problema di approccio, in quanto riesco a fare dominio, asintoti e derivata, però ho dei dubbi riguardo allo studio di quest'ultima. Il testo è il seguente:
\(\displaystyle \frac{x+1}{|x+3|} + ln (|x+3|) + 2 \)
Il dominio dovrebbe essere tutto R tranne -3.
L'asintoto verticale esiste, ma non ci sono ne quello orizzontale e ne quello obliquo.
Ora la derivata ed ecco che arrivano i dubbi; Essendoci il modulo devo studiare la derivata secondo un doppio caso, giusto?
Quindi devo farla sia col modulo così com'è, sia con i segni invertiti?
Cioè la derivata di questa:
\(\displaystyle \frac{x+1}{x+3} + ln (x+3) + 2 \)
e di questa:
\(\displaystyle \frac{x+1}{-x-3} + ln (-x-3) + 2 \)
e poi studiare entrambi i segni ed unirli in un grafico unico?
Potreste illuminarmi? Vi ringrazio tantissimo.
Un saluto,
Alessio.
sto trovando difficoltà con lo studio della seguente funzione.
Più che altro è un problema di approccio, in quanto riesco a fare dominio, asintoti e derivata, però ho dei dubbi riguardo allo studio di quest'ultima. Il testo è il seguente:
\(\displaystyle \frac{x+1}{|x+3|} + ln (|x+3|) + 2 \)
Il dominio dovrebbe essere tutto R tranne -3.
L'asintoto verticale esiste, ma non ci sono ne quello orizzontale e ne quello obliquo.
Ora la derivata ed ecco che arrivano i dubbi; Essendoci il modulo devo studiare la derivata secondo un doppio caso, giusto?
Quindi devo farla sia col modulo così com'è, sia con i segni invertiti?
Cioè la derivata di questa:
\(\displaystyle \frac{x+1}{x+3} + ln (x+3) + 2 \)
e di questa:
\(\displaystyle \frac{x+1}{-x-3} + ln (-x-3) + 2 \)
e poi studiare entrambi i segni ed unirli in un grafico unico?
Potreste illuminarmi? Vi ringrazio tantissimo.
Un saluto,
Alessio.
Risposte
esatto
Allora io ho fatto le derivate di entrambi i casi ed ho questo risultato:
1) La derivata del primo caso mi viene \(\displaystyle \frac{x+3-x-2}{(x+3)^2} + \frac {1}{x+3} \)
facendo il minimo comune multiplo mi viene \(\displaystyle \frac {x+4}{(x+3)^2} \)
Studiandola avrò: \(\displaystyle x > -4 , x > -3 \) e quindi avrò un grafico positivo alla sinistra del -4 e alla destra del -3, e negativo al centro.
2) La derivata del secondo caso mi viene \(\displaystyle \frac{-2x-5}{(-x-3)^2} + \frac{1}{(-x-3)} \)
facendo di nuovo il minimo comune multiplo otterrò \(\displaystyle \frac{-3x-7}{(x+3)^2} \)
Studiandola avrò: \(\displaystyle x<-\frac{7}{3} , x>-3 \) quindi avrò un grafico negativo alla sinistra del -3 e alla destra del 7/3, e positivo al centro.
A questo punto come unisco i due grafici? In modo da determinare i massimi e i minimi?
1) La derivata del primo caso mi viene \(\displaystyle \frac{x+3-x-2}{(x+3)^2} + \frac {1}{x+3} \)
facendo il minimo comune multiplo mi viene \(\displaystyle \frac {x+4}{(x+3)^2} \)
Studiandola avrò: \(\displaystyle x > -4 , x > -3 \) e quindi avrò un grafico positivo alla sinistra del -4 e alla destra del -3, e negativo al centro.
2) La derivata del secondo caso mi viene \(\displaystyle \frac{-2x-5}{(-x-3)^2} + \frac{1}{(-x-3)} \)
facendo di nuovo il minimo comune multiplo otterrò \(\displaystyle \frac{-3x-7}{(x+3)^2} \)
Studiandola avrò: \(\displaystyle x<-\frac{7}{3} , x>-3 \) quindi avrò un grafico negativo alla sinistra del -3 e alla destra del 7/3, e positivo al centro.
A questo punto come unisco i due grafici? In modo da determinare i massimi e i minimi?
No, un attimo. "Studiare la derivata", nel tuo caso significa "studiare il segno". La derivata è una funzione come le altre, a te in questo caso interessa studiarne il segno per capire della cose su un'altra funzione.
Il segno di \({x+4\over(x+3)^2}\) è presto fatto: il denominatore è sempre positivo (perché è un quadrato) e in numeratore è positivo per \(x>-4\), vale zero per \(x=4\) e negativo per \(x<-4\).
Il segno di \({x+4\over(x+3)^2}\) è presto fatto: il denominatore è sempre positivo (perché è un quadrato) e in numeratore è positivo per \(x>-4\), vale zero per \(x=4\) e negativo per \(x<-4\).
"nato_pigro":
No, un attimo. "Studiare la derivata", nel tuo caso significa "studiare il segno". La derivata è una funzione come le altre, a te in questo caso interessa studiarne il segno per capire della cose su un'altra funzione.
Il segno di \({x+4\over(x+3)^2}\) è presto fatto: il denominatore è sempre positivo (perché è un quadrato) e in numeratore è positivo per \(x>-4\), vale zero per \(x=4\) e negativo per \(x<-4\).
Sì ma poi devo fare la stessa cosa anche per la seconda, giusto?
E poi come faccio a trarne una conclusione?
P.S. vale zero per x = -4 , no?
Ciao!
Stà attento nei tuoi conti,perchè $Dln|x+3|=1/(x+3)$ $AAx$$inRR-{-3}$:
ad ex,per x<-3,$Dln|x+3|=Dln(-x-3)=1/(-x-3)D(-x-3)$(il buon vecchio teorema di derivazione delle funzioni composte!)
$=1/(-x-3)(-1)=1/(x+3)cdots$
Buon proseguimento di lavoro:
saluti dal web.
Stà attento nei tuoi conti,perchè $Dln|x+3|=1/(x+3)$ $AAx$$inRR-{-3}$:
ad ex,per x<-3,$Dln|x+3|=Dln(-x-3)=1/(-x-3)D(-x-3)$(il buon vecchio teorema di derivazione delle funzioni composte!)
$=1/(-x-3)(-1)=1/(x+3)cdots$
Buon proseguimento di lavoro:
saluti dal web.
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