Studio di una funzione

[corel_86]

Vi ringrazio per l'aiuto che mi avete dato nello svolgere i limiti adesso ho bisogno di un aiuto per il tracciamento del grafico di una funzione. C'è da premette una cosa i limiti e le derivate le so svolgere quello che non riesco a fare e quando applicarle nello studio delle funzioni. Ora posterò un esercizio del quale ho bisogno di tutti i chiarimenti possibili. A termine delle spiegazioni che mi avete fornito posterò l'intero procedimento, con la speranza di non fare errori.

$f(x) = 2ln^2|x| - 3ln|x|$

calcolare:
1) C.E.
2) Segno della funzione
3) Simmetrie
4) Intersezioni con gli assi
5) Continuità
6) Asintoti
7) Studio della derivata
8) Monotomia
9) Estremi relativi e assoluti
10) Convessità, concavità, flessi

vi ringrazio anticipatamente

[alle.fabbri]

inizia a postare il modo in cui la risolveresti tu...così evidenzi, anche a te, i punti che non ti sono chiari. Per iniziare, ad esempio, puoi considerare che il dominio è $RR "/" {0}$ perchè come argomento dei log hai il modulo di x e quindi hai problemi solo per x=0.....ora prova a continuare tu con lo studio del segno....

[corel_86]

quindi il dominio è $]-oo, 0[ U ]0,+oo[$
per quanto riguarda il segno bisogna fare (penso sia cosi)

$f(x)=2ln^2|x|+3ln|x|>0$

pongo $t=ln|x|$ e si ha

$2t^2+3t>0$

$t(2t+3)>0$

e valida per le soluzioni

$t>0,t<-3/2$

quindi $ln|x|>0, ln|x|<-3/2

cioè $|x|>1, |x|
e in definitiva la funzione f(x) è positiva in $x<-1, x>1 $ e in $-e^(-3/2)

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[alle.fabbri]

esatto!!
sai continuare?

[corel_86]

ho sbagliato vedi se adesso è giusto mi ero scordato il 2t

[corel_86]

per le simmetrie bisogna prima fare il sistema

${(x=0), (y=2ln|x|+3ln|x|):}
il quale non esiste perchè l'argomento del logaritmo deve essere >0

quindi non si ha intersezione con l'asse y

poi cerchiamo un eventuale intersezione con l'asse x

${(y=0), (2ln|x|+3ln|x|=0):}

la quale come abbiamo visto ha soluzioni $|x|=1, |x|=e^(-3/2)$

cioè $x=1, x=-1$ e $x=-e^(3/2), x=e^(-3/2)$

[alle.fabbri]

"corel_86":
la quale come abbiamo visto ha soluzioni $|x|=1, |x|=e^(-3/2)$

cioè $x=1, x=-1$ e $x=-e^(3/2), x=e^(-3/2)$

secondo me è $x=-e^(-3/2)$ ma cmq si il ragionamento è giusto.....

delle simmetrie poi non hai parlato ma siccome f(-x) = f(x) hai che la funzione è pari e simmetrica rispetto all'asse y. perciò puoi limitarti a studiare i limiti per x>0.

[corel_86]

si hai ragione ho dimenticato il segno...... e poi ho sbagliato perchè ho fatto l'intersezione con gli assi anzichè le simmetrie.......quindi la funzione è pari ma non è dispari

$f(x) = 2ln^2|x| - 3ln|x|$ è uguale a $f(-x)$ ed è pari quindi intersezione con l'asse y

se fosse stata dispari l'intersezione sarebbe stata con lo zero

[alle.fabbri]

cerco di mettere un po' in ordine quello che hai detto.....la funzione è pari perchè f(x) = f(-x) e quindi è simmetrica rispetto all'asse y, indipendentemente dal fatto che lo intersechi o no. Se una funzione è pari non è dispari, sono concetti che si escludono a vicenda, e quindi non stare a ribadirlo. Per le funzioni dispari continue hai che f(0)=0, ma se già prendi una funzione discontinua non è più vero, pensa alla funzione che vale -1 per x<0 e 1 per x>=0, chiaramente in 0 può fare quello che vuole, dipende da come la definisci.

[corel_86]

si scusa per il disordine......per quanto riguarda la continuità non saprei cosa fare.....per caso bisogna fare il limite per x->0 dalla destra e dalla sinistra?

[alle.fabbri]

si, devi fare i limiti. Però visto che è simmetrica ti basta farlo da destra. E poi anche a più infinito. non dovresti avere problemi a calcolarli, in ogni caso confronta i risultati con il segno della funzione come verifica.

[corel_86]

perchè solo da destra? non capisco! non ci dovrebbe anche essere $-oo$ e 0 dalla sinistra?

[alle.fabbri]

si ma la funzione è simmetrica perciò succede la stessa cosa. Siccome f(-x)=f(x) hai che anche
$lim_(x->x_0) f(x) = lim_(x->x_0) f(-x) = lim_(y->-x_0) f(y)$
gli estremi ti danno l'uguaglianza che cerchi.
I limiti riesci a calcolarli?

[corel_86]

chiaro!!! li calcolo più tardi i limiti ora sono impegnato a più tardi ciao e grazie

[corel_86]

eccomi qui adesso calcoli i seguenti limiti

1) $lim_(x->+oo) 2ln^2|x|-3ln|x|$ si presenta nella forma indeterminata $+oo -oo$

quindi $lim_(x->+oo) ln|x|(1-3/(ln|x|))=+oo$

2) $lim_(x->0^+) 2ln^2|x|-3ln|x|$ si presenta nella forma indeterminata $-oo +oo$

posto t=ln|x| e calcolato il limite $lim_(x->0^+) ln |x|= -oo$

si ha $lim_(t->-oo) 2t^2 - 3t$

$lim_(t->-oo) t^2(2 - 3/(t^2))=+oo$

quindi

$lim_(x->0^+) 2ln^2|x|-3ln|x|=+oo$

dovrebbe essere giusto e una volta calcolati quali sono le conclusioni?

[alle.fabbri]

Le conclusioni sono che la funzione va a più infinito per $x->+-\infty$, e questo è compatibile con la positività, e che va a più infinito anche per $x->0^(+-)$ e anche questo è compatibile con la positività. Adesso ti potresti chiedere se, a più e meno infinito, la funzione abbia degli asintoti obliqui. Sai come procedere?

[corel_86]

quindi 0 è un asintoto verticale dalla destra e dalla sinistra che va a $+oo$

visto che non ci sono asintoti orizzontali dobbiamo vedere se ci sono asintoti obliqui con l'apposita formula

y=mx+q retta di equazione si dice asintoto obliquo se:

1)$lim_(x->oo) f(x)/x$ deve esistere finito ma $!=0$

2)$lim_(x->oo) f(x)-mx$ deve esistere finito

quindi ritornando all'esercizio

1) $lim_(x->oo) (2ln^2|x|-3ln|x|)/x$

$lim_(x->oo) (ln^2|x|(1-3/(ln^2|x|)))/x$

essendo x di ordine maggiore rispetto a ln x il limite tende a 0

quindi in conclusione non si hanno asintoti obliqui

[alle.fabbri]

ok per gli asintoti obliqui. Per quello verticale in zero ricordati che la funzione è simmetrica attorno all'asse y perciò quello cha fa a destra lo fa anche a sinistra. Quind se a zero più va a più infinito, lo fa anche a zero meno. Se non ti convince questa cosa della simmetria fai proprio il calcolo...vedrai che torna. E comunque l'asintoto obliquo non potrebbe essere a meno infinito perchè f è positiva in ]-1,0[. Detto questo non ti resta che procedere con il calcolo delle derivate.

[corel_86]

ecco qui incominciano i miei problemi.......

la funzione è definita


$f(x)={(2ln^2x-3lnx if x>0) , (2ln^2(-x)-3ln(-x)if x<0), (\nexists if x=0) :}

giusto?

[alle.fabbri]

esatto

[corel_86]

la derivata di f(x)


$f^'(x)={((4/x)ln x-3/x if x>0) ,(-(4/x)ln (-x)+3/x if x<0), (\nexists if x=0) :}

giusto correggimi se sbaglio