Studio di una funzione
Salve sto trovando difficoltà nello studio di questa funzione \(\displaystyle y=x^2-ln|x| \). La funzione è pari, ha dominio \(\displaystyle D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty) \), non ha intersezioni e tutti i limiti degli estremi del dominio tendono a \(\displaystyle +\infty \). Il problema sorge con la derivata prima \(\displaystyle y'=2x-\frac{1}{|x|} \) in quanto studiandone il segno noto che anche quando la derivata è positiva, in un certo intervallo la funzione decresce. Quindi se qualcuno potesse chiarirmi un pò le idee ve ne sarei grato, grazie. L'intervallo in cui la funzione decresce anche quando la derivata è positiva è questo \(\displaystyle (0;\frac{1}{\sqrt{2}}) \):
Risposte
La derivata non è positiva in un intorno destro di $0$, perché $f'(x)=2x-\frac{1}{x} \to -\infty$ per $x \to 0^+$.
Occhio quando derivi, è sempre meglio discutere il valore assoluto (che non è derivabile dove si annulla, anche se qui $0$ non è nel dominio di $f$ e quindi va tutto bene).
Occhio quando derivi, è sempre meglio discutere il valore assoluto (che non è derivabile dove si annulla, anche se qui $0$ non è nel dominio di $f$ e quindi va tutto bene).
Ciao Gh3rra,
Scusa, ma visto che hai stabilito che la funzione è pari e si può scrivere nella forma $x^2 - 1/2 ln x^2 $ perché non la studi solo nell'intervallo $(0, +\infty) $ così ti togli di mezzo tutti i moduli?
Scusa, ma visto che hai stabilito che la funzione è pari e si può scrivere nella forma $x^2 - 1/2 ln x^2 $ perché non la studi solo nell'intervallo $(0, +\infty) $ così ti togli di mezzo tutti i moduli?
\( \displaystyle (-\frac{1}{\sqrt(2)}};0) \)
Scusami mi sono accorto di aver sbagliato a disegnare il grafico della derivata, però comunque mi risulta che quando la derivata è negativa la funzione cresce e non capisco il perché. Infatti da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle 0 \) la derivata è negativa ma la funzione comunque cresce nell'intervallo \(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0\right) \):
"Mephlip":
La derivata non è positiva in un intorno destro di $0$, perché $f'(x)=2x-\frac{1}{x} \to -\infty$ per $x \to 0^+$.
Occhio quando derivi, è sempre meglio discutere il valore assoluto (che non è derivabile dove si annulla, anche se qui $0$ non è nel dominio di $f$ e quindi va tutto bene).
Scusami mi sono accorto di aver sbagliato a disegnare il grafico della derivata, però comunque mi risulta che quando la derivata è negativa la funzione cresce e non capisco il perché. Infatti da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle 0 \) la derivata è negativa ma la funzione comunque cresce nell'intervallo \(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0\right) \):
"pilloeffe":
Ciao Gh3rra,
Scusa, ma visto che hai stabilito che la funzione è pari e si può scrivere nella forma $x^2 - 1/2 ln x^2 $ perché non la studi solo nell'intervallo $(0, +\infty) $ così ti togli di mezzo tutti i moduli?
Questa forma non la conosco e non capisco come hai fatto ad ottenerla. Senza dubbio la miglior cosa è studiarla solo da $0$ a $+\infty$, però non capisco perchè studiandola normalmente non risulta giusto
"Gh3rra":
Questa forma non la conosco e non capisco come hai fatto ad ottenerla.
Beh, semplicissimo:
$ x^2 - ln|x| = x^2 - ln sqrt{x^2} = x^2 - ln(x^2)^{1/2} = x^2 - 1/2 ln x^2 $
"Gh3rra":
Scusami mi sono accorto di aver sbagliato a disegnare il grafico della derivata, però comunque mi risulta che quando la derivata è negativa la funzione cresce e non capisco il perché. Infatti da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle 0 \) la derivata è negativa ma la funzione comunque cresce nell'intervallo \(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0\right) \):
Nessun problema! Comunque, è sbagliato lo studio del segno della derivata. Hai che
$$f(x)=x^2-\log|x|=\begin{cases} x^2-\log x, \ \text{se} \ x >0 \\ x^2-\log(-x), \ \text{se} \ x <0 \end{cases}$$
Quindi
$$f'(x)=\begin{cases} 2x-\frac{1}{x}, \ \text{se} \ x >0 \\ 2x-\frac{1}{x}, \ \text{se} \ x <0 \end{cases}=2x-\frac{1}{x}, \ \forall x \in \mathbb{R} \setminus\{0\}$$
Perciò è
$$f'(x) \ge 0 \iff 2x-\frac{1}{x} \ge 0 \iff \frac{2x^2-1}{x} \iff x\in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right) \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}},\infty\right)$$
Avrai sbagliato qualche conto: a me risulta crescente in $\left[-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right) \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}},\infty\right)$, proprio come da grafico.
Hai calcolato bene la derivata per $x<0$? Per il teorema di derivazione della funzione composta, risulta:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(x^2-\log(-x)\right)=2x- \frac{1}{-x} \cdot (-1)=2x-\frac{1}{x}$$
Oppure, hai studiato bene il segno della frazione $\frac{2x^2-1}{x} \ge 0$?
"pilloeffe":
[quote="Gh3rra"]Questa forma non la conosco e non capisco come hai fatto ad ottenerla.
Beh, semplicissimo:
$ x^2 - ln|x| = x^2 - ln sqrt{x^2} = x^2 - ln(x^2)^{1/2} = x^2 - 1/2 ln x^2 $[/quote]
È vero! Grazie mille
"Mephlip":
[quote="Gh3rra"]
Scusami mi sono accorto di aver sbagliato a disegnare il grafico della derivata, però comunque mi risulta che quando la derivata è negativa la funzione cresce e non capisco il perché. Infatti da \(\displaystyle -\infty \) a \(\displaystyle 0 \) la derivata è negativa ma la funzione comunque cresce nell'intervallo \(\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}};0\right) \):
Nessun problema! Comunque, è sbagliato lo studio del segno della derivata. Hai che
$$f(x)=x^2-\log|x|=\begin{cases} x^2-\log x, \ \text{se} \ x >0 \\ x^2-\log(-x), \ \text{se} \ x <0 \end{cases}$$
Quindi
$$f'(x)=\begin{cases} 2x-\frac{1}{x}, \ \text{se} \ x >0 \\ 2x-\frac{1}{x}, \ \text{se} \ x <0 \end{cases}=2x-\frac{1}{x}, \ \forall x \in \mathbb{R} \setminus\{0\}$$
Perciò è
$$f'(x) \ge 0 \iff 2x-\frac{1}{x} \ge 0 \iff \frac{2x^2-1}{x} \iff x\in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right) \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}},\infty\right)$$
Avrai sbagliato qualche conto: a me risulta crescente in $\left[-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right) \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}},\infty\right)$, proprio come da grafico.
Hai calcolato bene la derivata per $x<0$? Per il teorema di derivazione della funzione composta, risulta:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(x^2-\log(-x)\right)=2x- \frac{1}{-x} \cdot (-1)=2x-\frac{1}{x}$$
Oppure, hai studiato bene il segno della frazione $\frac{2x^2-1}{x} \ge 0$?[/quote]
Grazie mille della risposta. Grazie a te ho capito che sbagliavo nel valutare il valore assoluto dopo aver svolto la derivata prima, invece va valutato prima di derivare la funzione, in modo da ottenere due derivate senza valore assoluto e lavorare su quelle
Prego! Una cortesia: quando rispondi, se non è strettamente necessario, non quotare tutto il messaggio o si formano muri di testo inutili. Puoi rispondere sotto e, per riferirti a qualcuno in particolare, basta scriverlo esplicitamente (solitamente su internet si usa anteporre una @ al nome dell'utente a cui vuoi rispondere). Grazie!
@Mephlip Lo faccio perché così credo vi arrivi la notifica, ovviamente sono aperto a suggerimenti e consigli per migliorare la scrittura di thread sul forum
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