Studio di un problema di Cauchy

[bartofra]

Ho il seguente problema:

Le soluzioni massimali definite su R del problema di Cauchy:

$\{(y'=(y+1)^(1/5)),(y(1)= -1):}$ sono:

a)soltanto tre b)un'infinità non numerabile c) una ed una sola d)un' infinità al piu numerabile.


Il mio dubbio è tra la risposta a e la b.

Il sistema ha il punto di equilibrio in $y=-1$. Se $y>(-1)$ le soluzioni crescono e quindi si allontanano da -1 al crescere di t.
Per $y<-1 $ le soluzioni decrescono e si allontanao ugualmente da y=-1 sempre al crescere di t.

Tra le soluzioni massimali tali che $y(1)=-1$ c'è sicuramente la soluzione costante $y=-1$. Ma ve ne sono sicuramente altre due: una contenente punti con y>-1 e un'altra contenente punti con y<-1. Il fatto che l'intervallo massimale per y->-1 ha un valore finito in quanto $ 1/(y+1) $ è integrabile per $y->-1$

mi fa pensare che non vi siano altre soluzioni passanti per (1,-1). E quindi risponderei a)

Se però considero il fatto $F(y)=0$ per $y->-1$ in quanto $(y+1)^(1/5) = 0$ per $y->-1$ Penso che ogni soluzione parta da y=-1 con pendenza pari a zero e quindi "a ritroso" tenda a -1 con tempo illimitato. Oltretutto, y tende a +- inf con intervallo massimale pari a +inf.
Questo mi fa pensare che per ogni punto (t,-1) passino infinite curve e quindi la risposta sia la b)(Le soluzioni massimali definite su R del problema di Cauchy sono un'infinità non numerabile ).

Qualcuno puo darmi un suo parere?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Se la soluzione deve essere derivabile, come io credo, l'unica soluzione è quella costante $y = -1$.

[Lorin1]

Io leggendo il nome del topic avevo subito pensato al teorema di esistenza del prolungamento massimale, ma a quanto pare sbagliavo, perchè con il tuo metodo effettivamente lo vai proprio a trovare il prolungamento.

[Rigel1]

La soluzione corretta è la (b).
Infatti puoi verificare esplicitamente che tutte le funzioni del tipo
$y(x) = \{( -1 + [\frac{4}{5}(x-x_0)]^{5/4}, "se " x > x_0),(-1, "se " x\le x_0):}$
sono soluzioni del problema per ogni scelta di $x_0\ge 1$.

(Si tratta di un classico esempio di pennello di Peano.)

[gugo82]

La risposta giusta è la b.

Se hai letto od hai sentito parlare qualche volta del pennello di Peano, il fatto che ci possano essere infinite soluzioni non dovrebbe turbarti più di tanto.
Infatti in [tex]$(t_0,y_0)=(1,-1)$[/tex] il secondo membro della EDO, i.e. [tex]$f(t,y):=(y+1)^{\frac{1}{5}}$[/tex], non è lipschitziano, proprio come accade nel classico esempio di nonunicità studiato a Peano.

In particolare, non ti dovrebbe turbare la seguente costruzione.

Prendiamo [tex]$t_0>1$[/tex] e consideriamo la funzione:

[tex]$y(t;t_0):=\begin{cases} -1 &\text{, se $t\leq t_0$} \\ \big( \tfrac{4}{5} (t-t_0)\big)^{\frac{5}{4}} -1 &\text{, se $t\geq t_0$}\end{cases}$[/tex].

Evidentemente la [tex]$y(t;t_0)$[/tex] è derivabile per [tex]$t\neq t_0$[/tex], ma essa è derivabile pure per [tex]$t=t_0$[/tex] giacché calcolando le derivate destra e sinistra si trova:

[tex]$y_-^\prime (t_0;t_0) :=\lim_{t\to t_0^-} \tfrac{y(t;t_0)-y(t_0;t_0)}{t-t_0} =0=\lim_{t\to t_0^+} \tfrac{y(t;t_0)-y(t_0;t_0)}{t-t_0} =y_+^\prime (t_0;t_0)$[/tex];

pertanto si ha:

[tex]$y^\prime (t;t_0)=\begin{cases} -1 &\text{, se $t\leq t_0$} \\ (t-t_0)^{\frac{1}{4}} &\text{, se $t\geq t_0$}\end{cases}$[/tex]

e quindi [tex]$y(t;t_0)$[/tex] è di classe [tex]$C^1(\mathbb{R})$[/tex]; inoltre non è difficile constatare, con un po' di manipolazione algebrica, che [tex]$y(t;t_0)$[/tex] soddisfa la EDO [tex]$y^\prime (t;t_0)=(y(t;t_0)+1)^{\frac{1}{5}}$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e che [tex]$y(1;t_0)=-1$[/tex]; conseguentemente [tex]$y(t;t_0)$[/tex] è una soluzione del problema:

(*) [tex]$\begin{cases} y^\prime =(y+1)^{\frac{1}{5}} \\ y(1)=-1 \end{cases}$[/tex].

[asvg]axes("");
line([-6,-1],[1,-1]); plot("(0.8 (x-1))^(1.25) -1",1,6);
stroke="red"; line([1,-1],[2,-1]); plot("(0.8 (x-2))^(1.25) -1",2,6);
stroke="orange"; line([2,-1],[3,-1]); plot("(0.8 (x-3))^(1.25) -1",3,6);
stroke="yellow"; line([3,-1],[4,-1]); plot("(0.8 (x-4))^(1.25) -1",4,6);
stroke="dodgerblue"; dot([1,-1]);[/asvg]
[N.B.: Non farti ingannare dal disegno, che mostra un punto angoloso in [tex]$t_0$[/tex]: le funzioni sono derivabili, come mostrato sopra.]

Lasciando [tex]$t_0$[/tex] libero di variare, la famiglia [tex]$\{ y(t;t_0)\}_{t_0\geq 1}$[/tex] costituisce un continuo di soluzioni distinte del probelma di Cauchy (*).
Quindi puoi tranquillamente concludere che il tuo problema ammette infinite soluzioni.

Ovviamente la costruzione si ripete uguale per [tex]$t_0<1$[/tex] e porta a costruire l'altra famiglia di soluzioni:

[tex]$y(t;t_0):=\begin{cases} \big( \tfrac{4}{5}(t-t_0)\big)^{\frac{5}{4}} -1 &\text{, se $t\leq t_0$} \\ -1 &\text{, se $t\geq t_0$} \end{cases}$[/tex].

@Righello: Scusa la sovrapposizione.

[bartofra]

Grazie, questo mi è stato molto utile. Però è difficile convincersi delle cose a volte.

Se per esempio l'equazione fosse stata :

${(y'=(y+1)^2),(y(1)=-1):} $ Allora, siccome F(x), localmente, non perde mai la sua Lipschitzianita dovrei pensare che il problema non si ponga.

In questo caso quindi abbiamo SEMPRE una soluzione unica. E chiudere qui il discorso...rispondendo c)una e una sola.

Qualsiasi soluzione che parta da y <> -1 toccherà l'asse y=-1 con tempo infinito, cioè mai (in questo caso solo le soluzioni con y<-1, le altre vanno a a+inf).
Questo perchè $\int_{a}^{-1} 1/(y+1)^2 dx$ non esiste.

E' cosi?

[gugo82]

Che il grafico della soluzione singolare [tex]$\tilde{y}(x)=-1$[/tex] non sia mai toccato da nessun altra soluzione [tex]$y(t)$[/tex] della EDO è conseguenza del teorema di unicità (applicabile poiché [tex]$f(t,y):=(y+1)^2$[/tex] è localmente lipschitziana).

Infatti, se, per assurdo, supponiamo che una soluzione non singolare [tex]$y(t)$[/tex] tocchi il grafico di [tex]$\tilde{y}(t)$[/tex], allora esiste un [tex]$t_0$[/tex] tale che [tex]$y(t_0)=\tilde{y}(t_0)=-1$[/tex]; ma allora per il teorema di unicità applicato al problema

[tex]$\begin{cases} y^\prime (t)=(y(t)+1)^2 \\ y(t_0)=-1 \end{cases}$[/tex]

deve essere [tex]$y(t)=\tilde{y}(t)$[/tex] ovunque, il che è assurdo.

[bartofra]

Si, ora mi è tutto piu chiaro.
In effetti un po ci è voluto prima che mi entrasse in testa.

Grazie