Studio di un limite senza utilizzare de l'hopital
Salve a tutti,
oggi mi è stato richiesto di risolvere il seguente limite senza utilizzare de l'hopital e le derivate ma semplicemente utilizzando i limiti notevoli e le loro proprietà
$ lim_(x->0) ln(cosx)/(2^x-1)$
so che il risultato è 0 perchè ho provato con de l'hopital e ho anche controllato il risultato con un correttore online, non riesco tuttavia a vedere una soluzione ottenuta con i limiti notevoli
oggi mi è stato richiesto di risolvere il seguente limite senza utilizzare de l'hopital e le derivate ma semplicemente utilizzando i limiti notevoli e le loro proprietà
$ lim_(x->0) ln(cosx)/(2^x-1)$
so che il risultato è 0 perchè ho provato con de l'hopital e ho anche controllato il risultato con un correttore online, non riesco tuttavia a vedere una soluzione ottenuta con i limiti notevoli
Risposte
Ciao! Prova a scrivere $\ln(\cos x)=\ln(1+(\cos x -1)$ e $2^x=e^{x \ln 2}$.
Ciao samwincester,
Benvenuto sul forum!
Userei i limiti notevoli dopo aver riscritto il limite proposto nella forma seguente:
$ \lim_{x \to 0} ln(cosx)/(2^x-1) = \lim_{x \to 0} (ln\sqrt{1 - sin^2 x})/x \cdot 1/((2^x-1)/x) = \lim_{x \to 0} (1/2 ln(1 - sin^2 x))/x \cdot 1/((2^x-1)/x) $
Benvenuto sul forum!
Userei i limiti notevoli dopo aver riscritto il limite proposto nella forma seguente:
$ \lim_{x \to 0} ln(cosx)/(2^x-1) = \lim_{x \to 0} (ln\sqrt{1 - sin^2 x})/x \cdot 1/((2^x-1)/x) = \lim_{x \to 0} (1/2 ln(1 - sin^2 x))/x \cdot 1/((2^x-1)/x) $
Ciao ragazzi, grazie mille per le risposte.
Mephlip grazie in particolare a te, avevo immaginato la risoluzione del coseno ma non riuscivo a liberarmi dell'esponenziale.
pilloeffe ho provato a ragionare sulla tua risoluzione ma non vedo come scrivere così il limite possa aiutarmi, non riconosco alcun limite notevole ne mi sembra di vedere qualcosa riconducibile ad un limite notevole
Mephlip grazie in particolare a te, avevo immaginato la risoluzione del coseno ma non riuscivo a liberarmi dell'esponenziale.
pilloeffe ho provato a ragionare sulla tua risoluzione ma non vedo come scrivere così il limite possa aiutarmi, non riconosco alcun limite notevole ne mi sembra di vedere qualcosa riconducibile ad un limite notevole
anche il suggerimento di pilloeffe va bene : $ln(1-sin^2x)$ è asintotico a $-sin^2x$ per $ xrarr 0 $ e $-sin^2x$ è asintotico a $-x^2$
Sì, proprio come dice l'abatefarina... 
@samwincester
Completando i passaggi suggeriti si ha:
$\lim_{x \to 0} ln(cosx)/(2^x-1) = \lim_{x \to 0} (ln\sqrt{1 - sin^2 x})/x \cdot 1/((2^x-1)/x) = \lim_{x \to 0} (1/2 ln(1 - sin^2 x))/x \cdot 1/((2^x-1)/x) = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} (ln(1 - sin^2 x))/(-sin^2 x) \cdot (sin x)/x \cdot (-sin x) \cdot 1/((2^x-1)/x) = 1/2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 1/(ln2) = 0 $
Non vorrei averti dato l'impressione che non sia corretta anche la soluzione proposta da Mephlip (vabbeh, manca una parentesi nell'argomento del logaritmo, ma questo è un peccato veniale...): il mio lo puoi considerare un metodo alternativo per risolvere il limite proposto. Nel metodo che ti ho proposto si fa uso fra gli altri del limite notevole $\lim_{x \to 0} (sin x)/x = 1 $, nella soluzione proposta da Mephlip del limite notevole $\lim_{x \to 0} (1 - cos x)/x = 0 $
@samwincester
Completando i passaggi suggeriti si ha:
$\lim_{x \to 0} ln(cosx)/(2^x-1) = \lim_{x \to 0} (ln\sqrt{1 - sin^2 x})/x \cdot 1/((2^x-1)/x) = \lim_{x \to 0} (1/2 ln(1 - sin^2 x))/x \cdot 1/((2^x-1)/x) = $
$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} (ln(1 - sin^2 x))/(-sin^2 x) \cdot (sin x)/x \cdot (-sin x) \cdot 1/((2^x-1)/x) = 1/2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 1/(ln2) = 0 $
Non vorrei averti dato l'impressione che non sia corretta anche la soluzione proposta da Mephlip (vabbeh, manca una parentesi nell'argomento del logaritmo, ma questo è un peccato veniale...
): il mio lo puoi considerare un metodo alternativo per risolvere il limite proposto. Nel metodo che ti ho proposto si fa uso fra gli altri del limite notevole $\lim_{x \to 0} (sin x)/x = 1 $, nella soluzione proposta da Mephlip del limite notevole $\lim_{x \to 0} (1 - cos x)/x = 0 $
[ot]
pilloeffe terrorista di LaTeX
[/ot]
"pilloeffe":
vabbeh, manca una parentesi nell'argomento del logaritmo, ma questo è un peccato veniale...
pilloeffe terrorista di LaTeX
[/ot]
ho capito, piloeffe.
grazie per le risposte e per la risoluzione
grazie per le risposte e per la risoluzione
non so se posso continuare a scrivere qui o se devo aprire un altro topic, nel dubbio ci provo.
Sempre senza utilizzare le derivate come risolvereste questo limite? (x->infinito) non riuscivo a scriverlo nel tool delle formule
$ lim_(x -> +oo) ((4x+5)/(6x+1))^((1-x^2)/(3x+2)) $
scrivo tutto come
$ lim e^lnx $
e poi?
Sempre senza utilizzare le derivate come risolvereste questo limite? (x->infinito) non riuscivo a scriverlo nel tool delle formule
$ lim_(x -> +oo) ((4x+5)/(6x+1))^((1-x^2)/(3x+2)) $
scrivo tutto come
$ lim e^lnx $
e poi?
Esistono tecniche standard, illustrate su tutti i testi e gli eserciziari.
Che dice il tuo?
Qui non serve nemmeno andare a cercare a fondo: bastano i classici teoremi sui limiti.
Che dice il tuo?
Qui non serve nemmeno andare a cercare a fondo: bastano i classici teoremi sui limiti.
@samwincester
non è nemmeno una delle forme indeterminate della potenza; è immediato vedere a cosa tendono la base e l'esponente
non è nemmeno una delle forme indeterminate della potenza; è immediato vedere a cosa tendono la base e l'esponente
non è una forma indeterminata $ 1^(oo) $ ?
che scritto come potenza di e diventa
$ lim_(x -> +oo) e^((1-x^2)/(3x+2)ln((4x+5)/(6x+1))) $
che è ancora una forma $ +oo * 0 $
e quindi non *mi viene in mente* come continuare
edit: ho cambiato l'ultima frase
che scritto come potenza di e diventa
$ lim_(x -> +oo) e^((1-x^2)/(3x+2)ln((4x+5)/(6x+1))) $
che è ancora una forma $ +oo * 0 $
e quindi non *mi viene in mente* come continuare
edit: ho cambiato l'ultima frase
la base tende a $4/6=2/3$
@ samwincester: Se non cominci a ragionare seriamente sugli esercizi, preferendo affidarti a procedimenti meccanici, dubito che arriverai da qualche parte.
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