Studio di un limite parametrico.
Salve a tutti e grazie in anticipo per ogni aiuto che mi saprete dare,
ho questo limite: $ lim_(x -> 0) (e^(alphax^2)-sqrt(1+x^2)+alphax^2)/((1-cos)^alpha $
tramite le espansioni di Taylor e dopo gli opportuni calcoli ho: $ lim_(x -> 0) (x^2(4alpha-1)+o (x^4))/x^(2alpha) $
che dovrebbe essere corretto.
Ora se pongo $ alpha=1 $ sarà $ lim=3 $ ; per $ alpha<1, lim=+oo $ ; per $ alpha>1, lim=0 $
Non ho capito bene il concetto di grado di infinitesimo, e quindi non so dire se gli ultimi due risultati siano giusti: tende più velocemente a zero la $ x $ di grado più basso, quindi questa potrei sostituirla con 0 e l'altra $ x $ di grado più alto considerarla molto grossolanamente come un numero (dato che forse stupidamente sono portato a pensare che essa non sia "ancora arrivata" a 0)? Vale a dire:
Dati $ a 0) x^beta /x^alpha = lim_(x -> 0) 0/k=0 $ , è giusto questo? È vero il contrario? Mi sto complicando la vita inutilmente ignorando la regola giusta?
ho questo limite: $ lim_(x -> 0) (e^(alphax^2)-sqrt(1+x^2)+alphax^2)/((1-cos)^alpha $
tramite le espansioni di Taylor e dopo gli opportuni calcoli ho: $ lim_(x -> 0) (x^2(4alpha-1)+o (x^4))/x^(2alpha) $
che dovrebbe essere corretto.
Ora se pongo $ alpha=1 $ sarà $ lim=3 $ ; per $ alpha<1, lim=+oo $ ; per $ alpha>1, lim=0 $
Non ho capito bene il concetto di grado di infinitesimo, e quindi non so dire se gli ultimi due risultati siano giusti: tende più velocemente a zero la $ x $ di grado più basso, quindi questa potrei sostituirla con 0 e l'altra $ x $ di grado più alto considerarla molto grossolanamente come un numero (dato che forse stupidamente sono portato a pensare che essa non sia "ancora arrivata" a 0)? Vale a dire:
Dati $ a
Risposte
Il limite su cui ti poni la questione si può scrivere come
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^\beta}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0} x^{\beta-\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \beta>\alpha\\ 1 & & \beta=\alpha\\ \infty & & \beta<\alpha
\end{array}\right.$$
Per quanto riguarda la soluzione dell'esercizio invece non ci siamo: il limite attraverso gli sviluppi di taylor diventa il seguente
$$\lim_{x\to 0} 2^{\alpha-1}\cdot\frac{x^2(4\alpha-1)+o(x^4)}{x^{2\alpha}}$$
Per prima cosa, se $\alpha=1/4$ a numeratore hai un infinitesimo di ordine superiore a due, pertanto visto che a numeratore ottieni $x^{1/2}$ il limite vale zero. Per $\alpha=1$ gli ordini di infinitesimo coincidono, e pertanto hai come limite $3$. Se $0<\alpha <1$, a denominatore l'infinitesimo ha ordine minore, e quindi abbiamo ancora limite zero.Mentre, se $\alpha>1$, a numeratore stavolta l'infinitesimo è di ordine inferiore al denominatore, e quindi abbiamo come limite $\infty$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{x^\beta}{x^\alpha}=\lim_{x\to 0} x^{\beta-\alpha}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \beta>\alpha\\ 1 & & \beta=\alpha\\ \infty & & \beta<\alpha
\end{array}\right.$$
Per quanto riguarda la soluzione dell'esercizio invece non ci siamo: il limite attraverso gli sviluppi di taylor diventa il seguente
$$\lim_{x\to 0} 2^{\alpha-1}\cdot\frac{x^2(4\alpha-1)+o(x^4)}{x^{2\alpha}}$$
Per prima cosa, se $\alpha=1/4$ a numeratore hai un infinitesimo di ordine superiore a due, pertanto visto che a numeratore ottieni $x^{1/2}$ il limite vale zero. Per $\alpha=1$ gli ordini di infinitesimo coincidono, e pertanto hai come limite $3$. Se $0<\alpha <1$, a denominatore l'infinitesimo ha ordine minore, e quindi abbiamo ancora limite zero.Mentre, se $\alpha>1$, a numeratore stavolta l'infinitesimo è di ordine inferiore al denominatore, e quindi abbiamo come limite $\infty$.
Grazie mille per la risposta, vorrei proporvi un'altro limite su cui ho dei dubbi simili:
$ lim_(x -> 0) (cos(alphax)-sqrt(1+x^2)-alpha^2x^2)/(x-sinx)^alpha $
Applicando le espansioni e con i dovuti calcoli arrivo a:
$ lim_(x -> 0) (x^2(-alpha/2 -1/2 -alpha^2))/(-x^3/6)^alpha $.
Come posso procedere ora per studiare il limite rispetto ad $ alpha $?
Ho pensato che per avere un valore numerico diverso da zero deve essere $ alpha=(ln(2)/ln(3)) $ ma in questo modo i calcoli diventerebbero "strani"... Possibile che abbia sbagliato con le espansioni?
$ lim_(x -> 0) (cos(alphax)-sqrt(1+x^2)-alpha^2x^2)/(x-sinx)^alpha $
Applicando le espansioni e con i dovuti calcoli arrivo a:
$ lim_(x -> 0) (x^2(-alpha/2 -1/2 -alpha^2))/(-x^3/6)^alpha $.
Come posso procedere ora per studiare il limite rispetto ad $ alpha $?
Ho pensato che per avere un valore numerico diverso da zero deve essere $ alpha=(ln(2)/ln(3)) $ ma in questo modo i calcoli diventerebbero "strani"... Possibile che abbia sbagliato con le espansioni?
Come prima, ti sei fermato un po' troppo presto nello sviluppo. Dal momento che il primo termine a numeratore ha il coefficiente che dipende da $\alpha$ e che quindi, per valori particolari di $\alpha$ potrebbe annullarsi, ti conviene prendere almeno un secondo termine. La funzione sviluppata al quarto ordine per il numeratore diventa
$$\frac{1-\frac{\alpha^2 x^2}{2}+\frac{\alpha^4 x^4}{24}+o(x^4)-1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)-\alpha^2 x^2}{\left(x-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^\alpha}=\frac{\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\alpha^2\right)x^2+\left(\frac{\alpha^4}{24}+\frac{1}{8}\right)x^4}{\frac{x^{3\alpha}}{6^\alpha}}$$
(Tra l'altro avevi anche sbagliato qualcosa nello sviluppo).
Ora, osserva che il coefficiente del primo termine non si annulla per nessun valore del parametro e anzi risulta sempre negativo: ciò ci permette di riscrivere la funzione come
$$-\frac{6^\alpha}{2}(1+3\alpha^2) x^{2-3\alpha}$$
la quale ha limite
$$\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & 2-3\alpha>0\ \Rightarrow\ \alpha< 3/2\\
-\frac{93\sqrt{6}}{4} & &2-3\alpha=0\ \Rightarrow\ \alpha=3/2\\
\infty & & 2-3\alpha<0\ \Rightarrow\ \alpha> 3/2
\end{array}\right.$$
$$\frac{1-\frac{\alpha^2 x^2}{2}+\frac{\alpha^4 x^4}{24}+o(x^4)-1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)-\alpha^2 x^2}{\left(x-x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^\alpha}=\frac{\left(-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\alpha^2\right)x^2+\left(\frac{\alpha^4}{24}+\frac{1}{8}\right)x^4}{\frac{x^{3\alpha}}{6^\alpha}}$$
(Tra l'altro avevi anche sbagliato qualcosa nello sviluppo).
Ora, osserva che il coefficiente del primo termine non si annulla per nessun valore del parametro e anzi risulta sempre negativo: ciò ci permette di riscrivere la funzione come
$$-\frac{6^\alpha}{2}(1+3\alpha^2) x^{2-3\alpha}$$
la quale ha limite
$$\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & 2-3\alpha>0\ \Rightarrow\ \alpha< 3/2\\
-\frac{93\sqrt{6}}{4} & &2-3\alpha=0\ \Rightarrow\ \alpha=3/2\\
\infty & & 2-3\alpha<0\ \Rightarrow\ \alpha> 3/2
\end{array}\right.$$
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